Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
24.3.
Onde é o quadrado de vértices e .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral ao longo de uma curva , que é um quadrado com vértices em , , e , orientada no sentido anti-horário. Para resolver, vamos precisar entender o Teorema de Green e aplicar suas fórmulas.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções e na integral de linha dada:
Essas funções representam os componentes do campo vetorial que estamos integrando ao longo da curva .
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Passo 5
Definimos a região como o quadrado com as coordenadas dadas, ou seja, e . Então, a integral dupla fica:
Vamos resolver essa integral separando-a em duas partes:
Primeira parte:
Segunda parte:
integral0^pi/2 ( integral0^pi/2 x cdot sin(y) , dx ) dy = integral0^pi/2 sin(y) ( integral0^pi/2 x , dx ) dy = integral0^pi/2 sin(y) cdot x^22 g|0^pi/2 dy = integral0^pi/2 sin(y) cdot (pi/2)^22 , dy = pi^28 integral0^pi/2 sin(y) , dy = pi^28 cdot ( -cos(y) ) g|0^pi/2 = pi^28 cdot ( -0 + 1 ) = pi^28