Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
24.3.
ointc x cdot cos (y) cdot d x+y cdot sen(x) cdot d y
Onde C é o quadrado de vértices (0,0),(pi / 2,0),(pi / 2, pi / 2) e (0, pi / 2).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral ao longo de uma curva C, que é um quadrado com vértices em (0,0), (pi/2,0), (pi/2,pi/2) e (0,pi/2), orientada no sentido anti-horário. Para resolver, vamos precisar entender o Teorema de Green e aplicar suas fórmulas.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções P e Q na integral de linha dada:
P(x, y) = x cdot cos(y)
Q(x, y) = y cdot sin(x)
Essas funções representam os componentes do campo vetorial que estamos integrando ao longo da curva C.

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de Q em relação a x e de P em relação a y.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (y cdot sin(x)) = y cdot cos(x)
partial Ppartial y = partialpartial y (x cdot cos(y)) = -x cdot sin(y)
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( y cdot cos(x) - (-x cdot sin(y)) ) dA = integral duplaD ( y cdot cos(x) + x cdot sin(y) ) dA

Passo 5

Definimos a região D como o quadrado com as coordenadas dadas, ou seja, 0 <= x <= pi/2 e 0 <= y <= pi/2. Então, a integral dupla fica:
integral0^pi/2 integral0^pi/2 ( y cdot cos(x) + x cdot sin(y) ) dx , dy
Vamos resolver essa integral separando-a em duas partes:
integral0^pi/2 integral0^pi/2 y cdot cos(x) , dx , dy + integral0^pi/2 integral0^pi/2 x cdot sin(y) , dx , dy
Primeira parte:
integral0^pi/2 y ( integral0^pi/2 cos(x) , dx ) dy = integral0^pi/2 y cdot sin(x) g|0^pi/2 dy = integral0^pi/2 y cdot (1 - 0) , dy = integral0^pi/2 y , dy = y^22 g|0^pi/2 = (pi/2)^22 = pi^28
Segunda parte:
integral0^pi/2 ( integral0^pi/2 x cdot sin(y) , dx ) dy = integral0^pi/2 sin(y) ( integral0^pi/2 x , dx ) dy = integral0^pi/2 sin(y) cdot x^22 g|0^pi/2 dy = integral0^pi/2 sin(y) cdot (pi/2)^22 , dy = pi^28 integral0^pi/2 sin(y) , dy = pi^28 cdot ( -cos(y) ) g|0^pi/2 = pi^28 cdot ( -0 + 1 ) = pi^28

Resposta

Somando as duas partes, temos:
pi^28 + pi^28 = pi^24
Portanto, o valor da integral é pi^24.

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