Calcule a integral de linha de
sobre C , onde C é a circunferência
, orientada no sentido horário.
Passo 1
Vamos calcular a integral de linha do campo vetorial
sobre a curva
, que é a circunferência
, orientada no sentido horário.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área. Precisamos verificar se o campo
é conservativo ou se podemos aplicar diretamente o teorema.
Passo 2
O Teorema de Green diz que:
onde
e
.
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
A área
é a região interior da circunferência
, que é um círculo de raio
. A área de um círculo é dada por
.
Passo 6
Multiplicando a área pela constante obtida:
Passo 7
Como a orientação da curva
é no sentido horário, que é a orientação negativa, o valor da integral de linha será:
Resposta
A integral de linha é
.