Calcule a integral de linha de f(x, y) = (2y + raiz(1 + x^4), 5x - e^(y^2)) sobre C , onde C é a circunferência x^2 + y^2 = 4, orientada no sentido horário.

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha do campo vetorial sobre a curva C, que é a circunferência , orientada no sentido horário.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área. Precisamos verificar se o campo f é conservativo ou se podemos aplicar diretamente o teorema.

Passo 2

O Teorema de Green diz que:
onde e .
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:

Passo 5

A área D é a região interior da circunferência , que é um círculo de raio . A área de um círculo é dada por pi r^2.
Á

Passo 6

Multiplicando a área pela constante obtida:

Passo 7

Como a orientação da curva C é no sentido horário, que é a orientação negativa, o valor da integral de linha será:

Resposta

A integral de linha é .

Exercícios relacionados