Calcule)
, onde C é o triângulo de vértices
e
, orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular um integral de linha sobre um triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (0,2). O conteúdo aqui envolve cálculo vetorial e vamos usar o Teorema de Green para facilitar a nossa vida. Então, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como aplicar o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele conecta uma integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região que esse caminho envolve. Basicamente, ele transforma uma integral complicada ao longo da fronteira em uma integral mais fácil dentro da área. A fórmula é:
Passo 3
Vamos identificar as funções
e
na nossa integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do Teorema de Green:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Isso significa que a integral que a gente quer calcular é 5 vezes a área da região
do triângulo.
Passo 6
Vamos calcular a área do triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (0,2). A fórmula da área de um triângulo é:
Aqui, a base é 2 unidades (de (0,0) a (2,0)) e a altura também é 2 unidades (de (0,0) a (0,2)). Então:
Passo 7
Finalmente, substituímos a área na nossa integral: