Calcule) A=ointC(e^x^2-3 y) d x+(2 x+e^y) d y, onde C é o triângulo de vértices (0,0),(2,0) e (0,2), orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular um integral de linha sobre um triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (0,2). O conteúdo aqui envolve cálculo vetorial e vamos usar o Teorema de Green para facilitar a nossa vida. Então, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como aplicar o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele conecta uma integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região que esse caminho envolve. Basicamente, ele transforma uma integral complicada ao longo da fronteira em uma integral mais fácil dentro da área. A fórmula é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA

Passo 3

Vamos identificar as funções P = e^x^2 - 3y e Q = 2x + e^y na nossa integral:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x = partialpartial x (2x + e^y) = 2
partial Ppartial y = partialpartial y (e^x^2 - 3y) = -3

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
A = integral duplaD ( 2 - (-3) ) , dA = integral duplaD 5 , dA
Isso significa que a integral que a gente quer calcular é 5 vezes a área da região do triângulo.

Passo 6

Vamos calcular a área do triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (0,2). A fórmula da área de um triângulo é:
Área = 12 times base times aÁ
Aqui, a base é 2 unidades (de (0,0) a (2,0)) e a altura também é 2 unidades (de (0,0) a (0,2)). Então:
Área = 12 times 2 times 2 = 2 Á

Passo 7

Finalmente, substituímos a área na nossa integral:
A = 5 times 2 = 10

Resposta

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