Encontre a antiderivada mais geral da função. Verifique sua resposta diferenciando.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A questão pede para encontrar a antiderivada mais geral da função
e depois verificar nossa resposta diferenciando. Para isso, vamos usar conhecimentos de integração básicos e propriedades das potências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a integração. A expressão
pode ser dividida em duas frações:
Passo 3
Agora, vamos reescrever cada termo usando potências de
. Lembrando que
, então:
Portanto, a função fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de
é
, onde
é a constante de integração.
Integrando o primeiro termo:
Integrando o segundo termo:
Passo 5
Agora, juntamos as integrais dos dois termos e adicionamos a constante de integração
:
Passo 6
Para verificar nossa resposta, vamos diferenciar a antiderivada encontrada e ver se obtemos a função original
.
Diferenciando:
Que é exatamente a função
que tínhamos no início.
Resposta
A antiderivada mais geral da função é
, onde
é a constante de integração.