Encontre a antiderivada mais geral da função. Verifique sua resposta diferenciando.
f(x) = (3x - 2) / raiz(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A questão pede para encontrar a antiderivada mais geral da função e depois verificar nossa resposta diferenciando. Para isso, vamos usar conhecimentos de integração básicos e propriedades das potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a integração. A expressão pode ser dividida em duas frações:

Passo 3

Agora, vamos reescrever cada termo usando potências de . Lembrando que , então:
Portanto, a função fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de é , onde é a constante de integração.
Integrando o primeiro termo:
Integrando o segundo termo:

Passo 5

Agora, juntamos as integrais dos dois termos e adicionamos a constante de integração :

Passo 6

Para verificar nossa resposta, vamos diferenciar a antiderivada encontrada e ver se obtemos a função original .
Diferenciando:
Que é exatamente a função que tínhamos no início.

Resposta

A antiderivada mais geral da função é , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados