Calcule) A=ointC(e^x^2+2 y) d x+(6 x^2+e^y) d y, onde C é o triângulo de vértices (0,0),(3,0) e (3,6), orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um cálculo de uma integral de linha, ou seja, estamos somando valores ao longo de um caminho específico. O enunciado quer calcular:
A = ointC (e^x^2 + 2y) dx + (6x^2 + e^y) dy
Onde é um triângulo com vértices em , e , percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma região ointC M , dx + N , dy = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dx , dy delimitada por uma curva , temos:
Aqui, e . Nosso objetivo é calcular a integral dupla no lado direito da equação.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Npartial x = partialpartial x (6x^2 + e^y) = 12x
partial Mpartial y = partialpartial y (e^x^2 + 2y) = 2
Agora, substituindo na expressão do teorema:
partial Npartial x - partial Mpartial y = 12x - 2
Então, a integral dupla que precisamos calcular é:
integral duplaD (12x - 2) , dx , dy

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. Nosso triângulo tem vértices em integral0^3 integral0^2x (12x - 2) , dy , dx , integral0^2x (12x - 2) , dy = (12x - 2) cdot y |0^2x = (12x - 2) cdot 2x = 24x^2 - 4x e integral0^3 (24x^2 - 4x) , dx = 24 integral0^3 x^2 , dx - 4 integral0^3 x , dx . Isso significa que = 24 [ x^33 ]0^3 - 4 [ x^22 ]0^3 varia de 0 a 3. Para cada valor de = 24 ( 273 ) - 4 ( 92 ) , = 24 cdot 9 - 18 = 216 - 18 = 198 varia de 0 até a linha que conecta a , que é .
Portanto, a integral dupla fica assim:
Vamos primeiro integrar em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral é 198.

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