Calcule) , onde C é o triângulo de vértices , orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um cálculo de uma integral de linha, ou seja, estamos somando valores ao longo de um caminho específico. O enunciado quer calcular:
Onde é um triângulo com vértices em , e , percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma região delimitada por uma curva , temos:
Aqui, e . Nosso objetivo é calcular a integral dupla no lado direito da equação.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo na expressão do teorema:
Então, a integral dupla que precisamos calcular é:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. Nosso triângulo tem vértices em , e . Isso significa que varia de 0 a 3. Para cada valor de , varia de 0 até a linha que conecta a , que é .