Calcule) ointC(x^4-y^3) d x+(x^3+y^5) d y, onde C é a circunferência de raio 1 orientada no sentido antihorário.

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha ointC(x^4-y^3) dx + (x^3+y^5) dy, onde C é uma circunferência de raio 1 orientada no sentido antihorário. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as funções P e Q na integral de linha. Temos:
P(x, y) = x^4 - y^3
Q(x, y) = x^3 + y^5

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde D é a região dentro da curva C.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^3 + y^5) = 3x^2
partial Ppartial y = partialpartial y (x^4 - y^3) = -3y^2

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( 3x^2 - (-3y^2) ) dA = integral duplaD ( 3x^2 + 3y^2 ) dA = 3 integral duplaD (x^2 + y^2) dA

Passo 6

Observamos que x^2 + y^2 é a expressão da distância ao quadrado do ponto (x, y) até a origem. Como D é uma circunferência de raio 1, podemos usar coordenadas polares para simplificar a integral:
x = r cos theta
y = r sin theta
x^2 + y^2 = r^2
E o elemento de área em coordenadas polares é dA = r , dr , dtheta.

Passo 7

Então, a integral se torna:
3 integral0^2pi integral0^1 r^2 cdot r , dr , dtheta = 3 integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta

Passo 8

Calculando a integral interna em r:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14

Passo 9

Agora, substituímos na integral externa:
3 integral0^2pi 14 , dtheta = 34 integral0^2pi dtheta = 34 cdot 2pi = 3pi2

Resposta

O valor da integral é dfrac3pi2.

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