Calcule)
, onde
é a circunferência de raio 1 orientada no sentido antihorário.
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha
, onde
é uma circunferência de raio 1 orientada no sentido antihorário. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos as funções
e
na integral de linha. Temos:
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
onde
é a região dentro da curva
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Passo 6
Observamos que
é a expressão da distância ao quadrado do ponto
até a origem. Como
é uma circunferência de raio 1, podemos usar coordenadas polares para simplificar a integral:
E o elemento de área em coordenadas polares é
.
Passo 7
Então, a integral se torna:
Passo 8
Calculando a integral interna em
:
Passo 9
Agora, substituímos na integral externa:
Resposta
O valor da integral é
.