Calcule a integral
ll integral sen^3 x cos ^2 x d x & integral0^pi / 2 sen^7 x cos ^5 x d x integral sen^3(raizx)raizx d x & integral raizcos x sen^3 x d x integral tan ^2 x cos ^3 x d x & integral tan ^2 x d x integral0^pi / 4 tan ^4 x d x & integral0^pi / 6 raiz1+cos 2 x d x integral sen 2 x sen 6 x d x & integral x tan ^2 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a . Para resolver essa integral, vamos utilizar o método de substituição trigonométrica, que é útil quando temos potências ímpares de funções trigonométricas multiplicadas por outras funções trigonométricas.

Passo 2

Observe que temos um expoente ímpar para o seno ( integral sin^3 x cos^2 x , dx = integral sin^2 x cdot sin x cos^2 x , dx ). Isso nos dá a dica de que podemos separar uma potência de seno para usar como na substituição. Vamos reescrever a integral destacando uma potência de seno:

Passo 3

Sabemos que integral (1 - cos^2 x) cdot sin x cos^2 x , dx . Vamos substituir isso na integral:

Passo 4

Agora, vamos fazer a substituição. Definimos:
u = cos x Rightarrow du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx

Passo 5

Substituindo integral (1 - u^2) cdot u^2 cdot (-du) = -integral (1 - u^2) u^2 , du e = integral (u^4 - u^2) , du na integral:
Vamos remover o sinal negativo trocando a ordem dos termos:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
integral u^4 , du - integral u^2 , du = u^55 - u^33 + C

Passo 7

Finalmente, substituímos cos^5 x5 - cos^3 x3 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral de cos^5 x5 - cos^3 x3 + C é:

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