Use uma integral dupla para calcular a área da região
entre a parábola
e a reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a área da região
entre a parábola
e a reta
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que usamos para encontrar a área de regiões no plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde a parábola e a reta se interceptam. Isso significa encontrar os valores de
para os quais
.
Passo 3
Resolvendo a equação
:
Então,
ou
, o que dá
.
Passo 4
Agora que sabemos que as curvas se interceptam em
e
, vamos determinar os limites de integração. Para cada
entre 0 e 4,
varia da parábola
até a reta
.
Passo 5
A integral dupla para a área
é dada por:
Aqui, a integral interna
calcula a diferença vertical entre as duas curvas para cada
.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna:
Agora, substituímos na integral externa:
Passo 7
Calculando a integral:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.