Use uma integral dupla para calcular a área da região R entre a parábola y = (1/2) x^2 e a reta y = 2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a área da região entre a parábola e a reta . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que usamos para encontrar a área de regiões no plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde a parábola e a reta se interceptam. Isso significa encontrar os valores de para os quais .

Passo 3

Resolvendo a equação :
Então, ou , o que dá .

Passo 4

Agora que sabemos que as curvas se interceptam em e , vamos determinar os limites de integração. Para cada entre 0 e 4, varia da parábola até a reta .

Passo 5

A integral dupla para a área é dada por:
Aqui, a integral interna calcula a diferença vertical entre as duas curvas para cada .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna:
Agora, substituímos na integral externa:

Passo 7

Calculando a integral:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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