Use uma integral dupla para calcular a área da região entre a parábola e a reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a área da região entre a parábola e a reta . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que usamos para encontrar a área de regiões no plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde a parábola e a reta se interceptam. Isso significa encontrar os valores de para os quais .

Passo 3

Resolvendo a equação :
Então, ou , o que dá .

Passo 4

Agora que sabemos que as curvas se interceptam em e , vamos determinar os limites de integração. Para cada entre 0 e 4, varia da parábola até a reta .

Passo 5

A integral dupla para a área é dada por:
Aqui, a integral interna calcula a diferença vertical entre as duas curvas para cada .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna:
Agora, substituímos na integral externa:

Passo 7

Calculando a integral:

Resposta

A área da região é unidades de área.

Exercícios relacionados

I. A trena foi calibrada e não necessita de nenhuma correção. A incerteza declarada no seu certificado de calibração é 0,1% do valor lido, considerando um fator de abrangência k = 2 (para uma distribuição normal). Nesse caso, de 5,017 m é próximo a 5 mm . Dividindo por 2 , temos que a incerteza-padrão (para ) é .
Determine o volume abaixo do plano e acima da região, no primeiro quadrante, limitada pelas parábolas e .
Calcule a integral
Determine soluções em série de potências da equação diferencial
em torno do ponto ordinário . Encontre a relação de recorrência.