Considere a equação diferencial 2 y'' + x y' + y = 0. Determine:
a) a fórmula de recorrência;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Nosso objetivo aqui é encontrar a fórmula de recorrência, que nos ajuda a determinar os coeficientes de uma série que soluciona essa equação. Para isso, vamos usar séries de potências, assumindo que a solução pode ser expressa como uma soma infinita de potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de . A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial original:
Substituindo:

Passo 5

Para facilitar, vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham :

Passo 6

Agora, somamos todas as séries:
Para que essa igualdade seja válida para todos os , os coeficientes de cada devem ser iguais a zero.

Passo 7

Portanto, para cada , temos a equação:
Vamos isolar para obter a fórmula de recorrência:

Resposta

A fórmula de recorrência é dada por:

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