Considere a equação diferencial
. Determine:
a) a fórmula de recorrência;
a) a fórmula de recorrência;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Nosso objetivo aqui é encontrar a fórmula de recorrência, que nos ajuda a determinar os coeficientes de uma série que soluciona essa equação. Para isso, vamos usar séries de potências, assumindo que a solução
pode ser expressa como uma soma infinita de potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de
. A primeira derivada
é:
E a segunda derivada
é:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo:
Passo 5
Para facilitar, vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham
:
Passo 6
Agora, somamos todas as séries:
Para que essa igualdade seja válida para todos os
, os coeficientes de cada
devem ser iguais a zero.
Passo 7
Portanto, para cada
, temos a equação:
Vamos isolar
para obter a fórmula de recorrência:
Resposta
A fórmula de recorrência é dada por:
Exercícios relacionados
Determine soluções em série de potências da equação diferencial
em torno do ponto ordinário
. Encontre a relação de recorrência.
Calcule a integral
Dada a equação
e considerando o ponto ordinário
, determine:
c) Sabendo que as soluções dessa equação diferencial são
c) Sabendo que as soluções dessa equação diferencial são
determine seus raios de convergência.
Considere a equação diferencial
. Determine:
c) escreva a solução geral.
c) escreva a solução geral.