Determine soluções em série de potências da equação diferencial
y'' + 3y' = 0
em torno do ponto ordinário x0 = 0. Encontre a relação de recorrência.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial usando séries de potências em torno do ponto ordinário . Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de séries de potências, derivadas de séries e relacionamentos de recorrência que nos ajudarão a encontrar os coeficientes da série que satisfazem a equação dada.

Passo 2

Primeiro, supomos que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Onde são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
A primeira derivada:
A segunda derivada:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 5

Para facilitar a comparação dos termos, ajustamos os índices das somas para que todas tenham :
Para a segunda derivada:
Para a primeira derivada multiplicada por 3:

Passo 6

Agora, juntamos as duas somas:

Passo 7

Para que a equação seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, obtemos a relação de recorrência:

Passo 8

Podemos simplificar essa relação dividindo ambos os lados por (desde que ):
Portanto, a relação de recorrência é:

Resposta

A relação de recorrência para os coeficientes da série de potências que soluciona a equação diferencial é:

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