Determine soluções em série de potências da equação diferencial
em torno do ponto ordinário
. Encontre a relação de recorrência.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
usando séries de potências em torno do ponto ordinário
. Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de séries de potências, derivadas de séries e relacionamentos de recorrência que nos ajudarão a encontrar os coeficientes da série que satisfazem a equação dada.
Passo 2
Primeiro, supomos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Onde
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Para facilitar a comparação dos termos, ajustamos os índices das somas para que todas tenham
:
Para a segunda derivada:
Para a primeira derivada multiplicada por 3:
Passo 6
Agora, juntamos as duas somas:
Passo 7
Para que a equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Assim, obtemos a relação de recorrência:
Passo 8
Podemos simplificar essa relação dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Portanto, a relação de recorrência é:
Resposta
A relação de recorrência para os coeficientes da série de potências que soluciona a equação diferencial
é:
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Calcule a integral
Use uma integral dupla para calcular a área da região
entre a parábola
e a reta
.
Considere a equação diferencial
. Determine:
a) a fórmula de recorrência;
a) a fórmula de recorrência;
Dada a equação
e considerando o ponto ordinário
, determine:
c) Sabendo que as soluções dessa equação diferencial são
c) Sabendo que as soluções dessa equação diferencial são
determine seus raios de convergência.