Calcule a integral:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de
em relação a
. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com logaritmos e funções de potência. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão logarítmica e usar regras básicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar
. Sabemos que
é igual a
. Então,
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos reescrever:
Passo 4
Agora, nossa integral fica:
Podemos tirar o fator constante
para fora da integral:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Vamos escolher
, então
. E
, então
.
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Simplificando o integrando:
Passo 7
Agora, voltando à nossa integral original:
Resposta
Portanto, a integral de
em relação a
é:
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Uma partícula se move ao longo da curva
. Quando ela atinge o ponto
, a coordenada y está crescendo a uma taxa de
. Quão rapidamente está variando a corordenada
do ponto naquele instante?
Encontre uma antiderivada para cada uma das seguintes funções:
.
Encontre a área da região ndelimitada pelas curvas dadas
Suponha que
e
seja conínua. Encontre o valor de
.