Calcule a integral: integral ln raiz[3]x d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de ln raiz[3]x em relação a x. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com logaritmos e funções de potência. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão logarítmica e usar regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar ln raiz[3]x. Sabemos que raiz[3]x é igual a x^1/3. Então,
ln raiz[3]x = ln x^1/3

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que ln a^b = b ln a, podemos reescrever:
ln x^1/3 = 13 ln x

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
integral ln raiz[3]x , dx = integral 13 ln x , dx
Podemos tirar o fator constante 13 para fora da integral:
13 integral ln x , dx

Passo 5

Agora, precisamos calcular integral ln x , dx. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = u v - integral v , du
Vamos escolher u = ln x, então du = 1x dx. E dv = dx, então v = x.

Passo 6

Aplicando a fórmula:
integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x dx
Simplificando o integrando:
x ln x - integral 1 , dx = x ln x - x

Passo 7

Agora, voltando à nossa integral original:
13 integral ln x , dx = 13 (x ln x - x)

Resposta

Portanto, a integral de ln raiz[3]x em relação a x é:
13 (x ln x - x) + C

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