Calcule a integral:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com logaritmos e funções de potência. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão logarítmica e usar regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar . Sabemos que é igual a . Então,

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos reescrever:

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
Podemos tirar o fator constante para fora da integral:

Passo 5

Agora, precisamos calcular . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Vamos escolher , então . E , então .

Passo 6

Aplicando a fórmula:
Simplificando o integrando:

Passo 7

Agora, voltando à nossa integral original:

Resposta

Portanto, a integral de em relação a é:

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