Encontre a área da região ndelimitada pelas curvas dadas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está entre as curvas e . Para isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas. Precisaremos achar os pontos onde as curvas se cruzam e depois integrar a diferença delas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, resolver a equação . Isso vai nos dar os limites de integração.

Passo 3

Simplificando a equação , podemos dividir ambos os lados por (desde que ):
Então, temos:
Mas como só é definido para , descartamos . Assim, .

Passo 4

Além disso, vamos verificar o ponto onde . Isso ocorre quando , pois . Então, temos dois pontos de interseção: e .

Passo 5

Agora, precisamos saber qual das duas curvas está acima da outra no intervalo de a . Vamos testar com um valor, por exemplo, :
Para :
Para :
Como , a curva está acima de nesse intervalo.

Passo 6

Com isso, a área entre as curvas de a é dada pela integral da diferença entre as curvas:
Á

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Sabemos que:
E para , usamos integração por partes, onde e . Isso nos dá:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão original:
Agora, avaliamos essa expressão de a :
Para :
Para :

Passo 9

Calculando a diferença:
Á
Simplificando:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é:
Á

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