Encontre a área da região ndelimitada pelas curvas dadas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está entre as curvas
e
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas. Precisaremos achar os pontos onde as curvas se cruzam e depois integrar a diferença delas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, resolver a equação
. Isso vai nos dar os limites de integração.
Passo 3
Simplificando a equação
, podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Então, temos:
Mas como
só é definido para
, descartamos
. Assim,
.
Passo 4
Além disso, vamos verificar o ponto onde
. Isso ocorre quando
, pois
. Então, temos dois pontos de interseção:
e
.
Passo 5
Agora, precisamos saber qual das duas curvas está acima da outra no intervalo de
a
. Vamos testar com um valor, por exemplo,
:
Para
:
Para
:
Como
, a curva
está acima de
nesse intervalo.
Passo 6
Com isso, a área entre as curvas de
a
é dada pela integral da diferença entre as curvas:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Sabemos que:
E para
, usamos integração por partes, onde
e
. Isso nos dá:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão original:
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Calculando a diferença:
Simplificando:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral:
Uma partícula se move ao longo da curva
. Quando ela atinge o ponto
, a coordenada y está crescendo a uma taxa de
. Quão rapidamente está variando a corordenada
do ponto naquele instante?
Suponha que
e
seja conínua. Encontre o valor de
.
Demostre a fórmula, onde
e
são inteiros positivos.