Uma partícula se move ao longo da curva
. Quando ela atinge o ponto
, a coordenada y está crescendo a uma taxa de
. Quão rapidamente está variando a corordenada
do ponto naquele instante?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que se move ao longo da curva
. Quando ela está no ponto
, a velocidade com que a coordenada
está aumentando é
. A dúvida é: quão rápido a coordenada
está mudando nesse momento?
Aqui, estamos lidando com taxas relacionadas, que é um conceito de cálculo diferencial onde uma taxa de variação está relacionada a outra. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas e relacionar
com
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a equação da curva em relação ao tempo
. A equação é:
Para facilitar, vamos reescrever a raiz quadrada como potência:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia: derivamos a potência e depois multiplicamos pela derivada do que está dentro da potência.
Passo 3
Simplificando a expressão que obtivemos:
Agora, queremos encontrar
, que é a taxa de variação de
em relação ao tempo. Vamos isolar
:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores conhecidos no ponto
:
-
-
(mas já usamos a relação da curva para chegar aqui) -
Substituindo na equação:
Passo 5
Simplificando a expressão final:
Resposta
A coordenada
está variando a uma taxa de
naquele instante.
Exercícios relacionados
Encontre uma antiderivada para cada uma das seguintes funções:
.
Esboce o gráfico das funções abaixo, analisando o domínio, interseções com os eixos coordenados, simetrias, assíntotas horizontais, assíntotas verticais, pontos críticos, classificação dos pontos críticos, concavidades e pontos de inflexões.
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Calcule a integral:
Encontre a área da região ndelimitada pelas curvas dadas