Uma partícula se move ao longo da curva . Quando ela atinge o ponto , a coordenada y está crescendo a uma taxa de . Quão rapidamente está variando a corordenada do ponto naquele instante?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que se move ao longo da curva . Quando ela está no ponto , a velocidade com que a coordenada está aumentando é . A dúvida é: quão rápido a coordenada está mudando nesse momento?
Aqui, estamos lidando com taxas relacionadas, que é um conceito de cálculo diferencial onde uma taxa de variação está relacionada a outra. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas e relacionar com .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a equação da curva em relação ao tempo . A equação é:
Para facilitar, vamos reescrever a raiz quadrada como potência:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia: derivamos a potência e depois multiplicamos pela derivada do que está dentro da potência.

Passo 3

Simplificando a expressão que obtivemos:
Agora, queremos encontrar , que é a taxa de variação de em relação ao tempo. Vamos isolar :

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores conhecidos no ponto :
  • (mas já usamos a relação da curva para chegar aqui)
Substituindo na equação:

Passo 5

Simplificando a expressão final:

Resposta

A coordenada está variando a uma taxa de naquele instante.

Exercícios relacionados

Encontre uma antiderivada para cada uma das seguintes funções: .
Esboce o gráfico das funções abaixo, analisando o domínio, interseções com os eixos coordenados, simetrias, assíntotas horizontais, assíntotas verticais, pontos críticos, classificação dos pontos críticos, concavidades e pontos de inflexões.
  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .
  7. .
Calcule a integral:
Encontre a área da região ndelimitada pelas curvas dadas