Encontre uma antiderivada para cada uma das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma antiderivada para três funções diferentes:
,
e
. Isso significa que queremos encontrar uma função cuja derivada seja igual a cada uma dessas funções. Para resolver isso, vamos usar as regras básicas de integração conhecidas como antiderivadas.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
.
Sabemos que a antiderivada de
é uma função
tal que
.
Uma regra básica de integração nos diz que:
onde
é a constante de integração.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda função:
.
Buscamos uma função
tal que
.
Sabemos que a derivada de
é
. Portanto, a antiderivada de
é:
Passo 4
Por último, vamos resolver para a função:
.
Queremos encontrar
tal que
.
Lembramos que a derivada de
é
. Assim, a antiderivada de
é:
Resposta
As antiderivadas das funções são:
-
: -
: -
:
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Esboce o gráfico das funções abaixo, analisando o domínio, interseções com os eixos coordenados, simetrias, assíntotas horizontais, assíntotas verticais, pontos críticos, classificação dos pontos críticos, concavidades e pontos de inflexões.
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Uma partícula se move ao longo da curva
. Quando ela atinge o ponto
, a coordenada y está crescendo a uma taxa de
. Quão rapidamente está variando a corordenada
do ponto naquele instante?
Calcule a integral: