Suponha que f(1)=2, f(4)=7, f^prime(1)= 5, f^prime(4)=3 e f^prime prime seja conínua. Encontre o valor de integral x f^prime prime(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos uma função com alguns valores e derivadas conhecidas:
Também sabemos que a segunda derivada é contínua. O que queremos encontrar é o valor da integral de em relação a , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica fundamental em cálculo para integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Se tivermos uma integral da forma integral u , dv = u v - integral v , du , ela pode ser transformada em:
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral vão ser e .
Vamos escolher:
  • (porque a derivada de é simples)
  • (o que precisamos integrar)

Passo 3

Agora, vamos calcular u = x Rightarrow du = dx e dv = f''(x) , dx Rightarrow v = f'(x) :
  • Derivando :
  • Integrando :
    Isso porque a integral de é .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x f''(x) , dx = u v - integral v , du
= x f'(x) - integral f'(x) , dx
Agora, precisamos calcular a integral de .

Passo 5

A integral de integral f'(x) , dx = f(x) é simplesmente integral x f''(x) , dx = x f'(x) - f(x) + C , pois a derivada de é . Então:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, queremos encontrar o valor da integral definida. Supondo que os limites de integração sejam de 1 a 4 (já que temos valores nesses pontos), temos:
integral1^4 x f''(x) , dx = [ x f'(x) - f(x) ]1^4
Isso significa que vamos substituir e na expressão e fazer a diferença.

Passo 7

Calculando para 4 f'(4) - f(4) = 4 times 3 - 7 = 12 - 7 = 5 :
1 f'(1) - f(1) = 1 times 5 - 2 = 5 - 2 = 3
Calculando para :

Passo 8

Agora, fazendo a diferença:
[ x f'(x) - f(x) ]1^4 = 5 - 3 = 2

Resposta

O valor da integral é 2.

Exercícios relacionados