Suponha que e seja conínua. Encontre o valor de .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos uma função com alguns valores e derivadas conhecidas:
Também sabemos que a segunda derivada é contínua. O que queremos encontrar é o valor da integral de em relação a , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica fundamental em cálculo para integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Se tivermos uma integral da forma , ela pode ser transformada em:
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral vão ser e .
Vamos escolher:
  • (porque a derivada de é simples)
  • (o que precisamos integrar)

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando :
    Isso porque a integral de é .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos calcular a integral de .

Passo 5

A integral de é simplesmente , pois a derivada de é . Então:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, queremos encontrar o valor da integral definida. Supondo que os limites de integração sejam de 1 a 4 (já que temos valores nesses pontos), temos:
Isso significa que vamos substituir e na expressão e fazer a diferença.

Passo 7

Calculando para :
Calculando para :

Passo 8

Agora, fazendo a diferença:

Resposta

O valor da integral é 2.

Exercícios relacionados

Encontre a área da região ndelimitada pelas curvas dadas
Calcule a integral:
Demostre a fórmula, onde e são inteiros positivos.
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.