Suponha que
e
seja conínua. Encontre o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos uma função
com alguns valores e derivadas conhecidas:
Também sabemos que a segunda derivada
é contínua. O que queremos encontrar é o valor da integral de
em relação a
, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica fundamental em cálculo para integrar produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Se tivermos uma integral da forma
, ela pode ser transformada em:
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral
vão ser
e
.
Vamos escolher:
-
(porque a derivada de é simples) -
(o que precisamos integrar)
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
-
Derivando
: -
Integrando
: Isso porque a integral deé .
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos calcular a integral de
.
Passo 5
A integral de
é simplesmente
, pois a derivada de
é
. Então:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, queremos encontrar o valor da integral definida. Supondo que os limites de integração sejam de 1 a 4 (já que temos valores nesses pontos), temos:
Isso significa que vamos substituir
e
na expressão
e fazer a diferença.
Passo 7
Calculando para
:
Calculando para
:
Passo 8
Agora, fazendo a diferença:
Resposta
O valor da integral
é 2.
Exercícios relacionados
Encontre a área da região ndelimitada pelas curvas dadas
Calcule a integral:
Demostre a fórmula, onde
e
são inteiros positivos.
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.