Calcule a integral ao longo da curva dada no sentido antihorario.
onde
é a fronteira da região limitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que está pedindo para calcular ao longo da curva
no sentido anti-horário. O enunciado nos dá uma integral de linha:
E a curva
é a fronteira da região delimitada por
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região limitada pela curva. Precisamos entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada
e uma região
limitada por
, se tivermos uma integral de linha da forma:
Isso é igual a uma integral dupla sobre
:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Primeiro,
:
Agora,
:
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green, a integral de linha se transforma em:
Percebemos que
e
se cancelam, restando:
Então, nossa integral virou simplesmente duas vezes a área da região
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a área da região
limitada por
e
. Vamos esboçar as curvas para entender os limites de integração.
A curva
é simétrica em relação ao eixo
e toca
quando
. A interseção com
ocorre quando
, ou seja,
.
Portanto, os limites para
são de
a
, e para cada
,
vai de
a
.
Passo 6
Vamos calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral em
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Simplificando:
Resposta
A integral ao longo da curva
no sentido anti-horário vale: