Calcule a integral ao longo da curva dada no sentido antihorario.
ointC x^-1 e^y d x+(e^y ln x+2 x) d y
onde C é a fronteira da região limitada por x=y^4 e x=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que está pedindo para calcular ao longo da curva ointC x^-1 e^y , dx + (e^y ln x + 2x ) , dy no sentido anti-horário. O enunciado nos dá uma integral de linha:
E a curva é a fronteira da região delimitada por e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região limitada pela curva. Precisamos entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy e uma região integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy limitada por , se tivermos uma integral de linha da forma:
Isso é igual a uma integral dupla sobre :
No nosso caso, e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Vamos calcular Q = e^y ln x + 2x partial Qpartial x = e^y cdot 1x + 2 e P = x^-1 e^y partial Ppartial y = x^-1 e^y :
Primeiro, :
Agora, :

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green, a integral de linha se transforma em:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy = integral duplaD ( e^y cdot 1x + 2 - x^-1 e^y ) , dx , dy
Percebemos que integral duplaD 2 , dx , dy e se cancelam, restando:
Então, nossa integral virou simplesmente duas vezes a área da região .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a área da região limitada por e . Vamos esboçar as curvas para entender os limites de integração.
A curva é simétrica em relação ao eixo e toca quando . A interseção com ocorre quando , ou seja, .
Portanto, os limites para são de a , e para cada , vai de a .

Passo 6

Vamos calcular a integral dupla:
integral duplaD 2 , dx , dy = 2 integral-raiz[4]2^raiz[4]2 integraly^4^2 dx , dy
Primeiro, integramos em relação a integraly^4^2 dx = 2 - y^4 :
2 integral-raiz[4]2^raiz[4]2 (2 - y^4) , dy
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral em 2 integral-raiz[4]2^raiz[4]2 (2 - y^4) , dy = 2 [ 2y - y^55 ]-raiz[4]2^raiz[4]2 :
2(raiz[4]2) - (raiz[4]2)^55 = 2raiz[4]2 - 2^5/45
Calculando nos limites:
Para 2(-raiz[4]2) - (-raiz[4]2)^55 = -2raiz[4]2 - -2^5/45 = -2raiz[4]2 + 2^5/45 :
(2raiz[4]2 - 2^5/45) - (-2raiz[4]2 + 2^5/45) = 4raiz[4]2 - 2 cdot 2^5/45
Para 4raiz[4]2 - 2^9/45 :
Subtraindo:
Simplificando:

Resposta

A integral ao longo da curva 4raiz[4]2 - 2^9/45 no sentido anti-horário vale:

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