Use o Teorema de Green para calcular a integral , quando:
a) é o quadrado com vertices , orientada no sentido antihorario.
b) é o quadrado com vertices , orientada no sentido antihorario.
c) é a circunferência de raio 2 e centro na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos o Teorema de Green para calcular a integral . O Teorema de Green conecta integrais de linha sobre curvas fechadas com integrais duplas sobre a região que a curva delimita. Para resolver, a gente precisa identificar a região e aplicar o teorema corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o quê é o Teorema de Green. Ele nos diz que:
Aqui, e . Precisamos calcular as derivadas parciais e .
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região .
Passo 5
A parte (a) da questão define como o quadrado com vértices em , , e , orientado no sentido anti-horário. Isso significa que a região é um quadrado com lados de a e a .
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla:
Vamos integrar em relação a primeiro.
Passo 7
Integrando com respeito a :
Passo 8
Agora, integramos o resultado com respeito a :
Resposta
Portanto, a integral integralC y^2 dx + x , dy quando C é o quadrado dado é igual a -4.