Use o Teorema de Green para calcular a integral integralC y^2 d x+x d y, quando:
a) C é o quadrado com vertices (0,0),(2,0),(2,2),(0,2), orientada no sentido antihorario.
b) C é o quadrado com vertices (2,0),(0,2),(-2,0),(0,-2), orientada no sentido antihorario.
c) C é a circunferência de raio 2 e centro na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos o Teorema de Green para calcular a integral integralC y^2 dx + x , dy. O Teorema de Green conecta integrais de linha sobre curvas fechadas com integrais duplas sobre a região que a curva delimita. Para resolver, a gente precisa identificar a região e aplicar o teorema corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o quê é o Teorema de Green. Ele nos diz que:
ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, P = y^2 e Q = x. Precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x(x) = 1
partial Ppartial y = partialpartial y(y^2) = 2y

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
ointC y^2 dx + x , dy = integral duplaD (1 - 2y) , dA
Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região D.

Passo 5

A parte (a) da questão define C como o quadrado com vértices em (0,0), (2,0), (2,2) e (0,2), orientado no sentido anti-horário. Isso significa que a região D é um quadrado com lados de x=0 a x=2 e y=0 a y=2.

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla:
integral duplaD (1 - 2y) , dA = integralx=0^2 integraly=0^2 (1 - 2y) , dy , dx
Vamos integrar em relação a y primeiro.

Passo 7

Integrando com respeito a y:
integral0^2 (1 - 2y) , dy = [ y - y^2 ]0^2 = (2 - 4) - (0 - 0) = -2

Passo 8

Agora, integramos o resultado com respeito a x:
integral0^2 (-2) , dx = -2x |0^2 = -4 - 0 = -4

Resposta

Portanto, a integral integralC y^2 dx + x , dy quando C é o quadrado dado é igual a -4.

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