Identifique o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a cada equação dada a seguir.
9 x^2+4 y^2+36 x-24 y+36=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que identificar o conjunto de pontos que satisfazem a equação . Isso está ligado ao conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre as cônicas. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado tanto para o quanto para o .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de 9x^2 + 36x + 4y^2 - 24y + 36 = 0 e de 9(x^2 + 4x) + 4(y^2 - 6y) + 36 = 0:
Agora, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos:

Passo 3

Vamos completar o quadrado para os termos de (42)^2 = 4. Para a expressão x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4, pegamos o coeficiente de 9((x + 2)^2 - 4) = 9(x + 2)^2 - 36 que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4 dentro do parêntese:
Multiplicando pelo 9:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de (-62)^2 = 9. Para a expressão y^2 - 6y + 9 - 9 = (y - 3)^2 - 9, pegamos o coeficiente de 4((y - 3)^2 - 9) = 4(y - 3)^2 - 36 que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 9 dentro do parêntese:
Multiplicando pelo 4:

Passo 5

Substituindo de volta na equação original:
9(x + 2)^2 - 36 + 4(y - 3)^2 - 36 + 36 = 0
Simplificando os termos constantes:
-36 - 36 + 36 = -36
Então:
9(x + 2)^2 + 4(y - 3)^2 - 36 = 0

Passo 6

Vamos isolar os termos com 9(x + 2)^2 + 4(y - 3)^2 = 36 e (x + 2)^24 + (y - 3)^29 = 1 do lado esquerdo:
Agora, dividimos toda a equação por 36 para deixar na forma padrão:

Passo 7

Essa é a equação padrão de uma elipse centrada no ponto , onde o eixo maior está alinhado ao eixo e o eixo menor ao . Os semi-eixos têm medidas:
  • Semi-eixo maior:
  • Semi-eixo menor:

Resposta

O conjunto dos pontos (x + 2)^24 + (y - 3)^29 = 1 que satisfazem a equação dada forma uma elipse com centro em , semi-eixo maior de comprimento 3 na direção do eixo e semi-eixo menor de comprimento 2 na direção do eixo . A equação da elipse é:

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