Identifique o conjunto dos pontos
que satisfazem a cada equação dada a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que identificar o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
. Isso está ligado ao conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre as cônicas. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado tanto para o
quanto para o
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e de
:
Agora, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos:
Passo 3
Vamos completar o quadrado para os termos de
. Para a expressão
, pegamos o coeficiente de
que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4 dentro do parêntese:
Multiplicando pelo 9:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de
. Para a expressão
, pegamos o coeficiente de
que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 9 dentro do parêntese:
Multiplicando pelo 4:
Passo 5
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Então:
Passo 6
Vamos isolar os termos com
e
do lado esquerdo:
Agora, dividimos toda a equação por 36 para deixar na forma padrão:
Passo 7
Essa é a equação padrão de uma elipse centrada no ponto
, onde o eixo maior está alinhado ao eixo
e o eixo menor ao
. Os semi-eixos têm medidas:
- Semi-eixo maior:
- Semi-eixo menor:
Resposta
O conjunto dos pontos
que satisfazem a equação dada forma uma elipse com centro em
, semi-eixo maior de comprimento 3 na direção do eixo
e semi-eixo menor de comprimento 2 na direção do eixo
. A equação da elipse é: