Utilizando a equação vetorial
sen
onde
, provar que o comprimento
de uma elipse esta dada pela integral
onde
. O numero e é a excentricidade da elipse. Este é um caso particular de uma integral da forma:
chamada integral elíptica de segunda classe, onde
. Os numeros
estão tabulados para varios valores de
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma equação vetorial que descreve uma elipse:
, onde
. Queremos provar que o comprimento
dessa elipse pode ser expresso pela integral:
Aqui,
é a excentricidade da elipse. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial e integrais elípticas para resolver isso.
Passo 2
Para encontrar o comprimento de uma curva dada por uma equação vetorial
, usamos a fórmula:
Essa fórmula calcula a soma infinitesimal dos comprimentos das partes da curva entre
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 4
Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento:
Passo 5
Fatorando
dentro da raiz:
Aqui, usamos a identidade
.
Passo 6
Definindo a excentricidade
, podemos reescrever a expressão dentro da raiz:
Passo 7
Substituindo essa expressão na integral:
Passo 8
Observando que a função
é periódica com período
, podemos simplificar a integral multiplicando por 2 e integrando de
a
:
Passo 9
Dividindo o intervalo
em quatro partes iguais, podemos escrever:
Isso nos leva à expressão desejada.
Resposta
Portanto, mostramos que o comprimento
da elipse é dado por: