Utilizando a equação vetorial r(t)=a sen t i+b cos t j onde 0, provar que o comprimento L de uma elipse esta dada pela integral
L=4 a integral0^pi / 2 raiz1-e^2 sen^2 t d t
onde e=raiza^2-b^2a. O numero e é a excentricidade da elipse. Este é um caso particular de uma integral da forma:
E(k)=integral0^pi / 2 raiz1-k^2 sen^2 t d t
chamada integral elíptica de segunda classe, onde 0 <= k<1. Os numeros E(k) estão tabulados para varios valores de k.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma equação vetorial que descreve uma elipse: L = 4a integral0^pi/2 raiz1 - e^2 sin^2 t , dt , onde . Queremos provar que o comprimento dessa elipse pode ser expresso pela integral:
Aqui, é a excentricidade da elipse. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial e integrais elípticas para resolver isso.

Passo 2

Para encontrar o comprimento de uma curva dada por uma equação vetorial L = integralt1^t2 raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 , dt , usamos a fórmula:
Essa fórmula calcula a soma infinitesimal dos comprimentos das partes da curva entre e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de x(t) = a sin t Rightarrow dxdt = a cos t e y(t) = b cos t Rightarrow dydt = -b sin t :

Passo 4

Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento:
L = integral0^2pi raiz(a cos t)^2 + (-b sin t)^2 , dt = integral0^2pi raiza^2 cos^2 t + b^2 sin^2 t , dt

Passo 5

Fatorando L = integral0^2pi a raizcos^2 t + ( b^2a^2 ) sin^2 t , dt = a integral0^2pi raiz1 - (1 - b^2a^2) sin^2 t , dt dentro da raiz:
Aqui, usamos a identidade .

Passo 6

Definindo a excentricidade 1 - (1 - b^2a^2) sin^2 t = 1 - e^2 sin^2 t , podemos reescrever a expressão dentro da raiz:

Passo 7

Substituindo essa expressão na integral:
L = a integral0^2pi raiz1 - e^2 sin^2 t , dt

Passo 8

Observando que a função L = 2a integral0^pi raiz1 - e^2 sin^2 t , dt é periódica com período , podemos simplificar a integral multiplicando por 2 e integrando de a :

Passo 9

Dividindo o intervalo L = 4a integral0^pi/2 raiz1 - e^2 sin^2 t , dt em quatro partes iguais, podemos escrever:
Isso nos leva à expressão desejada.

Resposta

Portanto, mostramos que o comprimento L = 4a integral0^pi/2 raiz1 - e^2 sin^2 t , dt da elipse é dado por:

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