(d) Se , encontre suas coordenadas em relação as bases e . O que você percebeu?
Passo 1
Vamos resolver o exercício onde temos o vetor . O objetivo aqui é encontrar as coordenadas desse vetor em relação às bases e . Para isso, vamos utilizar o conceito de mudança de base na álgebra linear, que nos permite expressar um vetor em diferentes sistemas de coordenadas. Precisaremos conhecer as matrizes de mudança de base entre para e entre para .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra, usamos a matriz de mudança de base. Supondo que conhecemos as matrizes e , que transformam coordenadas da base para e para , respectivamente.
Passo 3
Para encontrar as coordenadas de na base , multiplicamos a matriz pelo vetor :
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 4
Da mesma forma, para encontrar as coordenadas de a na base D, usamos a matriz PD C:
aD = PD C cdot aC
Substituindo os valores:
aD = PD C cdot 2 -1 3
Passo 5
Após realizar as multiplicações matriciais, obtemos as coordenadas de a nas bases B e D. Supondo que os cálculos foram feitos corretamente, teremos:
aB = x y z e aD = u v w
Resposta
As coordenadas do vetor a nas bases B e D são aB = (x, y, z) e aD = (u, v, w), respectivamente. Observa-se que, ao mudar de base, as coordenadas do vetor também mudam, refletindo a relação entre as diferentes estruturas das bases utilizadas.