Calcule a integral ao longo de (orientada no sentido anti-horário). é a fronteira do triângulo de vértices e

Passo 1

Beleza, vamos começar! A questão pede para calcular uma integral de linha ao longo do caminho , que é a fronteira de um triângulo com vértices em , e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a área delimitada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas na integral. A integral dada é:
Aqui, temos:

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
onde é a área dentro do caminho .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Isso significa que a nossa integral de linha é igual a menos a área do triângulo .

Passo 6

Agora, vamos calcular a área do triângulo com vértices em , e . A fórmula da área de um triângulo é:
Á
Aqui, a base pode ser o segmento de a , que tem comprimento 1, e a altura é a distância de até a base, que é 2.
Á

Resposta

Portanto, a integral ao longo de é:

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Determine os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções:
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(k)
Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
(a)
Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
(b)