Calcule a integral ao longo de
(orientada no sentido anti-horário).
é a fronteira do triângulo de vértices
e
Passo 1
Beleza, vamos começar! A questão pede para calcular uma integral de linha ao longo do caminho
, que é a fronteira de um triângulo com vértices em
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a área delimitada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas na integral. A integral dada é:
Aqui, temos:
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
onde
é a área dentro do caminho
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Isso significa que a nossa integral de linha é igual a menos a área do triângulo
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a área do triângulo com vértices em
,
e
. A fórmula da área de um triângulo é:
Aqui, a base pode ser o segmento de
a
, que tem comprimento 1, e a altura é a distância de
até a base, que é 2.
Resposta
Portanto, a integral ao longo de
é:
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(k)
(k)
Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
(a)
(a)
Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
(b)
(b)