Calcule a integral ao longo de C (orientada no sentido anti-horário). integralC(3 x^2+y) d x+4 y^2 d y ; C é a fronteira do triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (0,2)

Passo 1

Beleza, vamos começar! A questão pede para calcular uma integral de linha ao longo do caminho , que é a fronteira de um triângulo com vértices em , e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a área delimitada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas na integral. A integral dada é:
integralC(3 x^2+y) , dx + 4 y^2 , dy
Aqui, temos:
P(x, y) = 3x^2 + y
Q(x, y) = 4y^2

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
onde é a área dentro do caminho .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (4y^2) = 0
partial Ppartial y = partialpartial y (3x^2 + y) = 1

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( 0 - 1 ) , dA = -integral duplaD , dA
Isso significa que a nossa integral de linha é igual a menos a área do triângulo .

Passo 6

Agora, vamos calcular a área do triângulo com vértices em Área = base times a, Área = 1 times 22 = 1 e . A fórmula da área de um triângulo é:
Á
Aqui, a base pode ser o segmento de a , que tem comprimento 1, e a altura é a distância de até a base, que é 2.
Á

Resposta

Portanto, a integral ao longo de integralC(3 x^2+y) dx + 4 y^2 dy = -1 é:

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