Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(k)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de valor inicial para resolver usando a Transformada de Laplace. A equação é , onde representa a quarta derivada de em relação ao tempo. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e usar as propriedades das transformadas para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação . A Transformada de Laplace de é , onde é a Transformada de Laplace de e , , , são as condições iniciais.

Passo 3

Já que a equação original é , aplicando a Transformada de Laplace temos:
Vamos rearranjar isso para isolar :

Passo 4

Agora, resolvemos para :
A gente pode fatorar o denominador como e, mais ainda, , mas para simplificar, vamos deixar como .

Passo 5

Para encontrar , precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace em . A gente pode decompor em frações parciais se necessário, mas considerando que o denominador tem raízes no espectro complexo, a solução geral será uma combinação linear de funções exponenciais e senos/cossenos.

Passo 6

Assumindo que as condições iniciais são todas zero (valor inicial nulo), ou seja, , a expressão para simplifica para:
Isso implica que para todas as .

Resposta

A solução da equação diferencial com condições iniciais nulas é:

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Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(d)
Calcule a Transformada de Laplace inversa:
(o)
Determine os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções:
Calcule a integral ao longo de (orientada no sentido anti-horário). é a fronteira do triângulo de vértices e