Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de valor inicial para resolver usando a Transformada de Laplace. A equação é
, onde
representa a quarta derivada de
em relação ao tempo. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e usar as propriedades das transformadas para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação
. A Transformada de Laplace de
é
, onde
é a Transformada de Laplace de
e
,
,
,
são as condições iniciais.
Passo 3
Já que a equação original é
, aplicando a Transformada de Laplace temos:
Vamos rearranjar isso para isolar
:
Passo 4
Agora, resolvemos para
:
A gente pode fatorar o denominador
como
e, mais ainda,
, mas para simplificar, vamos deixar como
.
Passo 5
Para encontrar
, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace em
. A gente pode decompor
em frações parciais se necessário, mas considerando que o denominador tem raízes no espectro complexo, a solução geral será uma combinação linear de funções exponenciais e senos/cossenos.
Passo 6
Assumindo que as condições iniciais são todas zero (valor inicial nulo), ou seja,
, a expressão para
simplifica para:
Isso implica que
para todas as
.
Resposta
A solução da equação diferencial
com condições iniciais nulas é:
Exercícios relacionados
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(d)
(d)
Calcule a Transformada de Laplace inversa:
(o)
(o)
Determine os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções:
Calcule a integral ao longo de
(orientada no sentido anti-horário).
é a fronteira do triângulo de vértices
e