Determine os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, onde precisamos usar derivadas parciais para identificar esses pontos especiais na função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações obtido:
- De
, sabemos que isso acontece quando , onde é um número inteiro. - Substituindo
em :
Então:
Portanto, os únicos pontos críticos são da forma
, onde
é inteiro.
Passo 4
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando a segunda derivada. Para isso, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
Em seguida, construímos a matriz Hessiana
e calculamos o determinante
:
Avaliaremos
nos pontos críticos
:
Então:
Resposta
Como
nos pontos críticos
, isso indica que cada um desses pontos é um ponto de sela. Portanto, a função
não possui máximos locais nem mínimos locais, apenas pontos de sela em
e
, onde
é um número inteiro.
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(k)
(k)
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(d)
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(orientada no sentido anti-horário).
é a fronteira do triângulo de vértices
e
Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
(a)
(a)