Determine os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, onde precisamos usar derivadas parciais para identificar esses pontos especiais na função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações obtido:
  1. De , sabemos que isso acontece quando , onde é um número inteiro.
  2. Substituindo em :
Então:
Portanto, os únicos pontos críticos são da forma , onde é inteiro.

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando a segunda derivada. Para isso, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
Em seguida, construímos a matriz Hessiana e calculamos o determinante :
Avaliaremos nos pontos críticos :
Então:

Resposta

Como nos pontos críticos , isso indica que cada um desses pontos é um ponto de sela. Portanto, a função não possui máximos locais nem mínimos locais, apenas pontos de sela em e , onde é um número inteiro.

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