Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
integral0^1 12-3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral ou mostrar que ela é divergente. Isso envolve o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais impróprias. Vamos precisar entender como lidar com denominadores que se tornam zero dentro do intervalo de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando: . Precisamos verificar se há algum ponto no intervalo onde o denominador se anula, porque aí a função pode ter uma assíntota vertical, o que pode fazer a integral divergir.

Passo 3

Vamos encontrar onde 2 - 3x = 0 implies 3x = 2 implies x = 23 :
Então, quando , o denominador é zero. Isso significa que a função tem uma assíntota vertical em .

Passo 4

Como a assíntota está dentro do intervalo de integração integral0^1 12-3x dx = integral0^23 12-3x dx + integral23^1 12-3x dx , a integral é irregular e precisamos dividir em duas partes:

Passo 5

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente, utilizando o conceito de limite para tratar as integrais impróprias.
Para a primeira parte:
lima to 23^- integral0^a 12-3x dx
E para a segunda parte:
limb to 23^+ integralb^1 12-3x dx

Passo 6

Vamos resolver a integral indefinida integral 1u cdot (-13) du = -13 ln|u| + C = -13 ln|2-3x| + C . Fazendo a substituição , temos ou . Então:

Passo 7

Vamos agora aplicar os limites de cada integral.
Para a primeira parte:
lima to 23^- [ -13 ln|2-3a| + 13 ln|2| ]
À medida que se aproxima de pela esquerda, se aproxima de zero positivo, então tende a . Assim, o limite da primeira parte tende ao .

Passo 8

Para a segunda parte:
limb to 23^+ [ -13 ln|2-3(1)| + 13 ln|2-3b| ]
Aqui, e tende a zero negativo, então também tende a . O limite desta parte também tende ao .

Passo 9

Como ambas as partes da integral tendem ao infinito, a integral original é divergente.

Resposta

A integral é divergente.

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