Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral
ou mostrar que ela é divergente. Isso envolve o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais impróprias. Vamos precisar entender como lidar com denominadores que se tornam zero dentro do intervalo de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando:
. Precisamos verificar se há algum ponto no intervalo
onde o denominador
se anula, porque aí a função pode ter uma assíntota vertical, o que pode fazer a integral divergir.
Passo 3
Vamos encontrar onde
:
Então, quando
, o denominador é zero. Isso significa que a função
tem uma assíntota vertical em
.
Passo 4
Como a assíntota está dentro do intervalo de integração
, a integral é irregular e precisamos dividir em duas partes:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente, utilizando o conceito de limite para tratar as integrais impróprias.
Para a primeira parte:
E para a segunda parte:
Passo 6
Vamos resolver a integral indefinida
. Fazendo a substituição
, temos
ou
. Então:
Passo 7
Vamos agora aplicar os limites de cada integral.
Para a primeira parte:
À medida que
se aproxima de
pela esquerda,
se aproxima de zero positivo, então
tende a
. Assim, o limite da primeira parte tende ao
.
Passo 8
Para a segunda parte:
Aqui,
e
tende a zero negativo, então
também tende a
. O limite desta parte também tende ao
.
Passo 9
Como ambas as partes da integral tendem ao infinito, a integral original é divergente.
Resposta
A integral
é divergente.
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