Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Passo 1
Vamos calcular a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais impróprias, que envolvem limites infinitos. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição e entender como avaliar limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos definir . Isso significa que a derivada de em relação a é . Podemos reescrever como , mas como temos na integral, isso simplifica para .
Passo 3
Substituindo na integral original, temos:
Aqui, os limites de integração também mudaram. Quando , , e quando tende ao infinito, também tende ao infinito.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral . Essa é uma integral conhecida da função , cuja antiderivada é .
Passo 5
Aplicando a antiderivada, temos:
Quando tende ao infinito, também tende ao infinito.
Passo 6
Como o limite de quando tende ao infinito é infinito, isso significa que a integral não tem um valor finito.