Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
integral2^infty d xx ln x

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais impróprias, que envolvem limites infinitos. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição e entender como avaliar limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos definir . Isso significa que a derivada de em relação a é . Podemos reescrever como , mas como temos na integral, isso simplifica para .

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
integral2^infty dxx ln x = integralln 2^infty dtt
Aqui, os limites de integração também mudaram. Quando , , e quando tende ao infinito, também tende ao infinito.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral . Essa é uma integral conhecida da função , cuja antiderivada é .

Passo 5

Aplicando a antiderivada, temos:
ln t g|ln 2^infty = limb to infty ln b - ln (ln 2)
Quando tende ao infinito, também tende ao infinito.

Passo 6

Como o limite de quando tende ao infinito é infinito, isso significa que a integral não tem um valor finito.

Resposta

A integral é divergente.

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