Teste a convergência ou divergência das séries
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série
converge ou diverge. Aqui, estamos lidando com séries alternadas devido ao
. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada e alguns conceitos básicos de limites e termos de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série sem o fator alternadamente positivo e negativo. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar algumas condições para aplicar o Teste da Série Alternada:
-
deve ser decrescente: Ou seja, cada termo seguinte deve ser menor que o anterior. -
: O limite do termo geral quando tende ao infinito deve ser zero.
Passo 4
Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Então,
Passo 5
Segundo o Teste da Série Alternada, se o limite de
não for zero, a série diverge. Como encontramos que o limite é 1, que não é igual a zero, podemos concluir que a série não atende a condição necessária para converger.
Resposta
A série
diverge.