Teste a convergência ou divergência das séries
sum(-1)^n nn+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série converge ou diverge. Aqui, estamos lidando com séries alternadas devido ao . Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada e alguns conceitos básicos de limites e termos de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série sem o fator alternadamente positivo e negativo. Ou seja, .

Passo 3

Agora, precisamos verificar algumas condições para aplicar o Teste da Série Alternada:
  1. deve ser decrescente: Ou seja, cada termo seguinte deve ser menor que o anterior.
  2. : O limite do termo geral quando tende ao infinito deve ser zero.

Passo 4

Vamos calcular o limite de limn to infty nn+2 quando limn to infty 11 + 2n = 11 + 0 = 1 tende ao infinito:
Podemos dividir o numerador e o denominador por :
Então,

Passo 5

Segundo o Teste da Série Alternada, se o limite de não for zero, a série diverge. Como encontramos que o limite é 1, que não é igual a zero, podemos concluir que a série não atende a condição necessária para converger.

Resposta

A série diverge.

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