Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Passo 1
Vamos resolver a integral . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais definidas e pode envolver integrais impróprias, já que a função não está definida em . Para resolver, vamos simplificar o integrando e analisar o comportamento da função no intervalo de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Assim, a integral fica:
Passo 3
Agora, separamos a integral em duas partes:
Passo 4
Calculamos cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
integral0^1 1x , dx
Aqui, percebemos que integral0^1 1x , dx = lima to 0^+ integrala^1 1x , dx = lima to 0^+ [ ln|x| ]a^1 tende ao infinito quando lima to 0^+ (ln 1 - ln a) = lima to 0^+ (0 - (-infty)) = +infty se aproxima de 0. Portanto, essa é uma integral imprópria. Para resolver, usamos o limite:
Calculando o limite:
Passo 5
Substituímos os resultados das integrais na expressão original:
integral0^1 x-1x , dx = 1 - (+infty) = -infty
Isso significa que a integral não possui um valor finito.