Teste a convergência ou divergência das séries
sum (2 n+1)^nn^2 n

Passo 1

Então, temos uma série infinita para analisar:
sum (2n + 1)^nn^2n
Vamos estudar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries infinitas, especificamente o Teste da Raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o termo geral da série para facilitar a aplicação do teste:
an = (2n + 1)^nn^2n = ( 2n + 1n^2 )^n
Agora, aplicamos o Teste da Raiz, que diz que se
L = limn to infty raiz[n]|an| = limn to infty |an|^1/n,
então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular L = limn to infty ( 2n + 1n^2 ) = limn to infty ( 2nn^2 + 1n^2 ) = limn to infty ( 2n + 1n^2 ) :
L = 0
À medida que tende ao infinito, tanto quanto tendem a zero. Portanto:

Passo 4

Como , de acordo com o Teste da Raiz, a série converge.

Resposta

A série converge.

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