Calcule a integral ou mostre que ela é divergente. integral0^1 ln 3 xx d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de de 0 a 1. Isso está na área de Cálculo, mais especificamente em integrais envolvendo logaritmos e funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e entender bem as propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Lembre-se que ln(3x) = ln(3) + ln(x) . Aplicando isso, temos:
integral0^1 ln(3) + ln(x)x , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes separadas:
integral0^1 ln(3)x , dx + integral0^1 ln(x)x , dx
A primeira integral é simples porque é uma constante.

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
ln(3) integral0^1 1x , dx
A integral de ln(3) [ ln|x| ]0^1 é , então:

Passo 5

Avaliando os limites:
ln(3) ( ln(1) - limx to 0^+ ln(x) )
Sabemos que e tende a quando tende a 0. Então, essa parte da integral é divergente.

Passo 6

Já que a primeira parte da integral diverge para , não precisamos calcular a segunda parte. Se qualquer parte da integral é infinita, a integral inteira também será.

Resposta

A integral é divergente.

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