Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de
de 0 a 1. Isso está na área de Cálculo, mais especificamente em integrais envolvendo logaritmos e funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e entender bem as propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Lembre-se que
. Aplicando isso, temos:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos dividir a integral em duas partes separadas:
A primeira integral é simples porque
é uma constante.
Passo 4
Vamos resolver a primeira integral:
A integral de
é
, então:
Passo 5
Avaliando os limites:
Sabemos que
e
tende a
quando
tende a 0. Então, essa parte da integral é divergente.
Passo 6
Já que a primeira parte da integral diverge para
, não precisamos calcular a segunda parte. Se qualquer parte da integral é infinita, a integral inteira também será.
Resposta
A integral
é divergente.