Teste a convergência ou divergência das séries

Passo 1

Então, a gente tem que analisar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é super útil quando temos fatoriais e exponenciais na soma.

Passo 2

O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite do quociente entre o termo seguinte da série e o termo atual quando vai para o infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá resultado.
Matematicamente, isso fica:

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identificamos .
Então, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando tende ao infinito:
Observamos que no numerador temos um polinômio de grau 1 ( ) e no denominador uma exponencial que cresce muito mais rápido ( ).

Passo 5

Como a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, o limite vai para zero:

Resposta

Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

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