Então, a gente tem que analisar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é super útil quando temos fatoriais e exponenciais na soma.
Passo 2
O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite do quociente entre o termo seguinte da série e o termo atual quando vai para o infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá resultado.
Matematicamente, isso fica:
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identificamos an+1an = (n+2)!e^(n+1)^3 div (n+1)!e^n^3 = (n+2) cdot (n+1)!e^n^3 + 3n^2 + 3n + 1 cdot e^n^3(n+1)! .
Então, temos:
an+1an = n+2e^3n^2 + 3n + 1
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando L = limn to infty n+2e^3n^2 + 3n + 1 tende ao infinito:
Observamos que no numerador temos um polinômio de grau 1 () e no denominador uma exponencial que cresce muito mais rápido ().
Passo 5
Como a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, o limite vai para zero: