Teste a convergência ou divergência das séries sum (n+1)!e^n^3

Passo 1

Então, a gente tem que analisar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é super útil quando temos fatoriais e exponenciais na soma.

Passo 2

O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite do quociente entre o termo seguinte da série e o termo atual quando L = limn to infty | an+1an | vai para o infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá resultado.
Matematicamente, isso fica:

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identificamos an+1an = (n+2)!e^(n+1)^3 div (n+1)!e^n^3 = (n+2) cdot (n+1)!e^n^3 + 3n^2 + 3n + 1 cdot e^n^3(n+1)! .
Então, temos:
an+1an = n+2e^3n^2 + 3n + 1
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando L = limn to infty n+2e^3n^2 + 3n + 1 tende ao infinito:
Observamos que no numerador temos um polinômio de grau 1 ( ) e no denominador uma exponencial que cresce muito mais rápido ( ).

Passo 5

Como a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, o limite vai para zero:
L = 0

Resposta

Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

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