Mostre que se e são conjuntos, então .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos, e , e queremos provar que a união de com é igual a . Ou seja, queremos mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de teoria dos conjuntos, como união ( ), interseção ( ) e complemento ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte dessa expressão representa.
  • é o conjunto de elementos que estão tanto em quanto em .
  • representa o complemento de , ou seja, todos os elementos que não estão em .
  • é o conjunto de elementos que estão em mas não estão em .

Passo 3

Agora, vamos analisar a união . A união de dois conjuntos contém todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos.
Então, isso significa que:
  • Incluímos todos os elementos que estão em e também em .
  • Incluímos todos os elementos que estão em mas não estão em .

Passo 4

Juntando essas duas partes, percebemos que estamos incluindo todos os elementos que estão em , independentemente de estarem ou não em . Portanto, a união abrange todos os elementos de .

Passo 5

Matematicamente, podemos escrever isso da seguinte forma:
Isso porque cada elemento de está ou em ou em , e a união desses dois casos cobre todo o conjunto .

Resposta

Portanto, mostramos que:

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