Teste a convergência ou divergência das séries

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por . O objetivo é verificar se essa série converge (ou seja, soma a um valor finito) ou diverge (não soma a um valor finito). Para resolver isso, vamos usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a comparar a série em questão com outra série conhecida para determinar seu comportamento.

Passo 2

Vamos analisar o denominador da fração: . À medida que aumenta, cresce muito mais rápido que e qualquer número constante. Portanto, para grandes valores de , domina o denominador, e podemos aproximar .

Passo 3

Com essa aproximação, a nossa série original se comporta de forma semelhante à série . Sabemos que é uma Série Geométrica com razão , que é menor que 1. Portanto, essa série geométrica converge.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Comparação. Como para grande, , e sabemos que é muito menor que , podemos afirmar que .

Passo 5

Já que é uma série convergente (pois é uma constante multiplicada por uma série geométrica convergente), pelo Teste da Comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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