Teste a convergência ou divergência das séries
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por
. O objetivo é verificar se essa série converge (ou seja, soma a um valor finito) ou diverge (não soma a um valor finito). Para resolver isso, vamos usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a comparar a série em questão com outra série conhecida para determinar seu comportamento.
Passo 2
Vamos analisar o denominador da fração:
. À medida que
aumenta,
cresce muito mais rápido que
e qualquer número constante. Portanto, para grandes valores de
,
domina o denominador, e podemos aproximar
.
Passo 3
Com essa aproximação, a nossa série original
se comporta de forma semelhante à série
. Sabemos que
é uma Série Geométrica com razão
, que é menor que 1. Portanto, essa série geométrica converge.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste da Comparação. Como para
grande,
, e sabemos que
é muito menor que
, podemos afirmar que
.
Passo 5
Já que
é uma série convergente (pois é uma constante multiplicada por uma série geométrica convergente), pelo Teste da Comparação, nossa série original
também converge.
Resposta
A série
converge.
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e
se sabemos que
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