Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar uma representação em série de potências para a função
e também determinar o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar usar séries de potências e entender como manipular séries que envolvem funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Maclaurin para
é conhecida. Sabemos que:
Essa é a série que vamos usar como base para construir a série de
.
Passo 3
Agora, já que nossa função
é
multiplicado por
, podemos multiplicar a série de
por
. Assim:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da série. Podemos reescrever
como
, onde
. Isso significa que
. Substituindo na série:
Mas para deixar em termos de
, podemos manter a soma começando em
:
Passo 5
Para deixar a série em uma forma mais padrão, podemos fatorar
fora da soma:
Então, a representação em série de potências para
é:
Passo 6
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série original
converge para
. Quando multiplicamos por
, isso não altera o intervalo de convergência, apenas adiciona um fator polinomial que não afeta a convergência da série infinita. Portanto, o raio de convergência continua sendo 1.
Resposta
A representação em série de potências para a função
é:
E o raio de convergência dessa série é
.
Exercícios relacionados
Mostre que se
e
são conjuntos, então
.
Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de
.
,
Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Teste a convergência ou divergência das séries