Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar uma representação em série de potências para a função e também determinar o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar usar séries de potências e entender como manipular séries que envolvem funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Maclaurin para é conhecida. Sabemos que:
Essa é a série que vamos usar como base para construir a série de .

Passo 3

Agora, já que nossa função é multiplicado por , podemos multiplicar a série de por . Assim:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da série. Podemos reescrever como , onde . Isso significa que . Substituindo na série:
Mas para deixar em termos de , podemos manter a soma começando em :

Passo 5

Para deixar a série em uma forma mais padrão, podemos fatorar fora da soma:
Então, a representação em série de potências para é:

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série original converge para . Quando multiplicamos por , isso não altera o intervalo de convergência, apenas adiciona um fator polinomial que não afeta a convergência da série infinita. Portanto, o raio de convergência continua sendo 1.

Resposta

A representação em série de potências para a função é:
E o raio de convergência dessa série é .

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