Calcule a integral ou mostre que ela é divergente. integral0^1 x-1raizx d x

Passo 1

Então, vamos ver o que a gente tem aqui! A gente precisa calcular a integral definida de 0 até 1 da função x-1raizx em relação a x. Isso está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente integrais que envolvem funções racionais e raízes. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de integrais e manipulação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função dentro da integral. A expressão x-1raizx pode ser dividida em duas partes:
xraizx - 1raizx
Simplificando cada termo:
xraizx = raizx e 1raizx = x^-1/2
Então, a integral fica:
integral0^1 raizx - x^-1/2 , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de x^n em relação a x é x^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.
Para raizx, que é x^1/2:
integral raizx , dx = integral x^1/2 , dx = x^3/23/2 = 23 x^3/2
Para x^-1/2:
integral x^-1/2 , dx = x^1/21/2 = 2 x^1/2

Passo 4

Então, juntando as integrais, temos:
integral0^1 x-1raizx , dx = [ 23 x^3/2 - 2 x^1/2 ]0^1
Isso significa que vamos calcular o valor da expressão dentro dos colchetes para x = 1 e para x = 0, e depois subtrair.

Passo 5

Calculando para x = 1:
23 (1)^3/2 - 2 (1)^1/2 = 23 cdot 1 - 2 cdot 1 = 23 - 2 = -43
Calculando para x = 0:
23 (0)^3/2 - 2 (0)^1/2 = 23 cdot 0 - 2 cdot 0 = 0 - 0 = 0

Resposta

A integral vale -43.

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