Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. pode ser colocado na forma .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma fração algébrica e a pergunta é: é possível escrever essa fração na forma ?
Aqui estamos trabalhando com frações parciais, que é uma técnica usada para decompor expressões racionais em somas de frações mais simples. Para resolver isso, vamos seguir alguns passos para ver se conseguimos encontrar valores para , e que satisfaçam a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração original. Temos:
Então, a fração fica:
Agora, queremos expressar essa fração como a soma de frações simples:

Passo 3

Para encontrar os valores de , e , vamos multiplicar ambos os lados da igualdade pelo denominador comum :

Passo 4

Agora, vamos expandir cada termo do lado direito:
Substituindo de volta na equação:

Passo 5

Vamos agrupar os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da terceira equação:
  1. Substituindo na primeira equação:
  1. Da segunda equação:
Substituindo na equação :
Então, .

Resposta

Verdadeira. Conseguimos encontrar , e , então a fração pode ser escrita como .

Exercícios relacionados

Trace a função e use o gráfico para conjecturar o valor da integral . Então, calcule a integral para confirmar sua conjectura.
Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. pode ser colocado na forma .
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. é convergente.