Trace a função
e use o gráfico para conjecturar o valor da integral
. Então, calcule a integral para confirmar sua conjectura.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para gente traçar o gráfico da função
e, a partir do gráfico, fazer uma suposição sobre o valor da integral
. Depois, vamos calcular essa integral para ver se nossa suposição estava certa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções trigonométricas e como calcular integrais de funções envolvendo seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função
. Sabemos que
e
são funções que oscilam entre -1 e 1, mas como estamos elevando ao quadrado e ao cubo, isso afeta a forma do gráfico.
sempre será positivo ou zero, já que estamos elevando ao quadrado, enquanto
manterá o sinal de
. Então, o produto vai oscilar, mas com amplitudes modificadas.
Passo 3
Vamos pensar no comportamento da função no intervalo de
a
. Tanto o seno quanto o cosseno completam um ciclo completo nesse intervalo. Como estamos multiplicando
por
, a função
terá zeros onde
(ou seja, em
) e também onde
(em
). Entre esses pontos, a função vai oscilar com diferentes amplitudes.
Passo 4
Ao trazar o gráfico, percebemos que a função
é ímpar em relação a
, ou seja, é simétrica em torno desse ponto. Isso significa que as áreas positivas e negativas no intervalo de
a
vão se cancelar. Logo, podemos conjecturar que a integral
será igual a zero.
Passo 5
Agora vamos calcular a integral para confirmar nossa suposição. Vamos resolver
.
Primeiro, vamos usar uma substituição para simplificar. Seja
, então
. Precisamos ajustar nossa integral para essa substituição.
A função
pode ser escrita como
. Então, a integral fica:
Substituindo
e
, temos:
Integrando termo a termo:
Voltando para
:
Agora, avaliamos de
a
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral
é igual a 0.
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Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Calcule a integral.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
pode ser colocado na forma
.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
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