Trace a função f(x)=cos ^2 x sen^3 x e use o gráfico para conjecturar o valor da integral integral0^2 pi f(x) d x. Então, calcule a integral para confirmar sua conjectura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para gente traçar o gráfico da função e, a partir do gráfico, fazer uma suposição sobre o valor da integral . Depois, vamos calcular essa integral para ver se nossa suposição estava certa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções trigonométricas e como calcular integrais de funções envolvendo seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função . Sabemos que e são funções que oscilam entre -1 e 1, mas como estamos elevando ao quadrado e ao cubo, isso afeta a forma do gráfico. sempre será positivo ou zero, já que estamos elevando ao quadrado, enquanto manterá o sinal de . Então, o produto vai oscilar, mas com amplitudes modificadas.

Passo 3

Vamos pensar no comportamento da função no intervalo de a . Tanto o seno quanto o cosseno completam um ciclo completo nesse intervalo. Como estamos multiplicando por , a função terá zeros onde (ou seja, em ) e também onde (em ). Entre esses pontos, a função vai oscilar com diferentes amplitudes.

Passo 4

Ao trazar o gráfico, percebemos que a função é ímpar em relação a , ou seja, é simétrica em torno desse ponto. Isso significa que as áreas positivas e negativas no intervalo de a vão se cancelar. Logo, podemos conjecturar que a integral será igual a zero.

Passo 5

Agora vamos calcular a integral para confirmar nossa suposição. Vamos resolver integral cos^2x cdot (1 - cos^2x) cdot sin x , dx .
Primeiro, vamos usar uma substituição para simplificar. Seja - integral u^2(1 - u^2) , du = - integral (u^2 - u^4) , du , então - ( u^33 - u^55 ) + C = -u^33 + u^55 + C . Precisamos ajustar nossa integral para essa substituição.
A função -cos^3x3 + cos^5x5 pode ser escrita como [ -cos^3(2pi)3 + cos^5(2pi)5 ] - [ -cos^3(0)3 + cos^5(0)5 ] . Então, a integral fica:
( -13 + 15 ) - ( -13 + 15 ) = (-13 + 15) - (-13 + 15) = 0
Substituindo e , temos:
Integrando termo a termo:
Voltando para :
Agora, avaliamos de a :
Sabemos que , então:

Resposta

A integral é igual a 0.

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