Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral
. Isso pertence ao estudo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções que envolvem exponenciais e polinômios, além de saber lidar com limites infinitos.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a integral é imprópria porque o limite superior é infinito. Para resolver isso, a gente transforma a integral com limite infinito em um limite finito. Assim:
Passo 3
Agora, precisamos integrar a função
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
-
⇒ -
⇒
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 5
Agora, integremos
:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 6
Voltando à nossa integral imprópria:
Calculamos agora para os limites:
Para
:
Observando que
tende a zero mais rápido que qualquer potência de
, então:
Para
:
Resposta
Portanto, a integral converge e seu valor é:
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Considere
e
como conjuntos. Mostre que
.
Teste a convergência ou divergência das séries
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
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