Calcule a integral ou mostre que ela é divergente. integral1^infty 2 x e^-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral integral1^infty 2x e^-2x dx. Isso pertence ao estudo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções que envolvem exponenciais e polinômios, além de saber lidar com limites infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a integral é imprópria porque o limite superior é infinito. Para resolver isso, a gente transforma a integral com limite infinito em um limite finito. Assim:
integral1^infty 2x e^-2x dx = limb to infty integral1^b 2x e^-2x dx

Passo 3

Agora, precisamos integrar a função 2x e^-2x. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = 2x du = 2 dx
  • dv = e^-2x dx v = integral e^-2x dx = -12 e^-2x

Passo 4

Aplicando a fórmula:
integral 2x e^-2x dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo:
= 2x (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) cdot 2 dx
Simplificando:
= -x e^-2x + integral e^-2x dx

Passo 5

Agora, integremos integral e^-2x dx:
integral e^-2x dx = -12 e^-2x + C
Substituindo de volta na expressão anterior:
integral 2x e^-2x dx = -x e^-2x - 12 e^-2x + C

Passo 6

Voltando à nossa integral imprópria:
integral1^infty 2x e^-2x dx = limb to infty [ -x e^-2x - 12 e^-2x ]1^b
Calculamos agora para os limites:
Para x = b:
limb to infty ( -b e^-2b - 12 e^-2b )
Observando que e^-2b tende a zero mais rápido que qualquer potência de b, então:
limb to infty ( -b e^-2b - 12 e^-2b ) = 0
Para x = 1:
-1 cdot e^-2 cdot 1 - 12 e^-2 cdot 1 = -e^-2 - 12 e^-2 = -32 e^-2

Resposta

Portanto, a integral converge e seu valor é:
integral1^infty 2x e^-2x dx = 32 e^-2

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