Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral . Isso pertence ao estudo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções que envolvem exponenciais e polinômios, além de saber lidar com limites infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a integral é imprópria porque o limite superior é infinito. Para resolver isso, a gente transforma a integral com limite infinito em um limite finito. Assim:

Passo 3

Agora, precisamos integrar a função . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:

Passo 4

Aplicando a fórmula:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 5

Agora, integremos :
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 6

Voltando à nossa integral imprópria:
Calculamos agora para os limites:
Para :
Observando que tende a zero mais rápido que qualquer potência de , então:
Para :

Resposta

Portanto, a integral converge e seu valor é:

Exercícios relacionados

Considere e como conjuntos. Mostre que
.
Teste a convergência ou divergência das séries
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
Teste a convergência ou divergência das séries