Teste a convergência ou divergência das séries
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender como comparar essa série com outras que já sabemos se convergem ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teste da Integral, que é uma ferramenta útil para séries com termos positivos e decrescentes. O teste diz que, se a integral de uma função contínua, positiva e decrescente de
de 1 até o infinito converge, então a série
também converge.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Integral à nossa série. Nossa função é
. Precisamos avaliar a integral:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Passo 5
Agora, avaliamos os limites de 1 até o infinito:
Quando
:
-
porque o crescimento de domina o de . -
Quando
:
Portanto:
Passo 6
A integral
converge para 1. Segundo o Teste da Integral, isso significa que a série
também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
A segunda derivada direcional de
na direção do vetor
é definida por
Use o item anterior para calcular a segunda derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
Considere
e
. Encontre
.
Considere
e
como conjuntos. Mostre que
.
Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.