Teste a convergência ou divergência das séries

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender como comparar essa série com outras que já sabemos se convergem ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teste da Integral, que é uma ferramenta útil para séries com termos positivos e decrescentes. O teste diz que, se a integral de uma função contínua, positiva e decrescente de de 1 até o infinito converge, então a série também converge.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Integral à nossa série. Nossa função é . Precisamos avaliar a integral:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):

Passo 5

Agora, avaliamos os limites de 1 até o infinito:
Quando :
  • porque o crescimento de domina o de .
Quando :
Portanto:

Passo 6

A integral converge para 1. Segundo o Teste da Integral, isso significa que a série também converge.

Resposta

A série converge.

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A segunda derivada direcional de na direção do vetor é definida por
Use o item anterior para calcular a segunda derivada direcional de no ponto e na direção do vetor .
Considere e . Encontre
.
Considere e como conjuntos. Mostre que
.
Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.