Teste a convergência ou divergência das séries sum (ln n)n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender como comparar essa série com outras que já sabemos se convergem ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teste da Integral, que é uma ferramenta útil para séries com termos positivos e decrescentes. O teste diz que, se a integral de uma função contínua, positiva e decrescente de de 1 até o infinito converge, então a série também converge.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Integral à nossa série. Nossa função é integral1^infty ln xx^2 , dx . Precisamos avaliar a integral:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes, onde escolhemos:
  • integral ln xx^2 , dx = -ln xx + integral 1x^2 , dx = -ln xx - 1x + C
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):

Passo 5

Agora, avaliamos os limites de 1 até o infinito:
[ -ln xx - 1x ]1^infty
Quando 0 - 0 - (0 - 1) = 1 :
  • porque o crescimento de domina o de .
Quando :
Portanto:

Passo 6

A integral converge para 1. Segundo o Teste da Integral, isso significa que a série também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados