Considere
e
como conjuntos. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que o conjunto
está contido em
. Isso está ligado ao estudo de teoria dos conjuntos, especificamente sobre subconjuntos e união de conjuntos. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa um conjunto ser subconjunto de outro e como funciona a união de dois conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória: quando dizemos que
, isso quer dizer que todo elemento de
também está em
. Agora,
representa a união dos conjuntos
e
, ou seja, todos os elementos que estão em
, em
, ou em ambos.
Passo 3
Nosso objetivo é provar que qualquer elemento que estiver em
também estará em
. Então, vamos pegar um elemento qualquer
que pertence a
e mostrar que
também pertence a
.
Passo 4
Se
, então por definição da união de conjuntos,
pertence a
, já que a união inclui todos os elementos de
. Não importa se
também está em
ou não.
Passo 5
Como todo elemento
de
está também em
, isso confirma que
é realmente um subconjunto de
.
Resposta
Portanto, mostramos que
.
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Teste a convergência ou divergência das séries
A segunda derivada direcional de
na direção do vetor
é definida por
Use o item anterior para calcular a segunda derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.