Considere e como conjuntos. Mostre que
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que o conjunto está contido em . Isso está ligado ao estudo de teoria dos conjuntos, especificamente sobre subconjuntos e união de conjuntos. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa um conjunto ser subconjunto de outro e como funciona a união de dois conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória: quando dizemos que , isso quer dizer que todo elemento de também está em . Agora, representa a união dos conjuntos e , ou seja, todos os elementos que estão em , em , ou em ambos.

Passo 3

Nosso objetivo é provar que qualquer elemento que estiver em também estará em . Então, vamos pegar um elemento qualquer que pertence a e mostrar que também pertence a .

Passo 4

Se , então por definição da união de conjuntos, pertence a , já que a união inclui todos os elementos de . Não importa se também está em ou não.

Passo 5

Como todo elemento de está também em , isso confirma que é realmente um subconjunto de .

Resposta

Portanto, mostramos que .

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A segunda derivada direcional de na direção do vetor é definida por
Use o item anterior para calcular a segunda derivada direcional de no ponto e na direção do vetor .
Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.