Calcule a integral , onde é a circunferência , usando o Teorema de Green, para e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a circunferência definida por . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando o cálculo. As funções dadas são e . Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula do Teorema de Green é:
Então, nosso primeiro passo é calcular as derivadas parciais e .

Passo 3

Vamos calcular . Sabemos que , então:
Agora, vamos calcular . Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Então, nossa integral dupla ficou .

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região , que é a circunferência . Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . A área elementar em coordenadas polares é .
Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:

Passo 6

Vamos calcular a integral interna :
Agora, substituímos de volta:

Passo 7

Agora, vamos calcular . Sabemos que:
Então:

Resposta

Portanto, a integral vale 0.

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Utilize o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e um disco ou anel típicos.
em torno do eixo
Use o Teorema de Green para calcular a área da região limitada pelo círculo .
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
em torno do eixo .
Resolva as integrais usando a substituição de variável: