Calcule a integral ointC P d x+Q d y, onde C é a circunferência x^2+y^2=4, usando o Teorema de Green, para P=x^2+y^2 e Q=x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a circunferência definida por . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando o cálculo. As funções dadas são e . Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA com uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula do Teorema de Green é:
Então, nosso primeiro passo é calcular as derivadas parciais e .

Passo 3

Vamos calcular partial Qpartial x = partialpartial x (xy) = y . Sabemos que partial Ppartial y = partialpartial y (x^2 + y^2) = 2y , então:
Agora, vamos calcular . Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaD (y - 2y) dA = integral duplaD (-y) dA
Então, nossa integral dupla ficou .

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral dupla integral duplaD (-y) dA = integral0^2pi integral0^2 (-r sin theta) cdot r dr dtheta = -integral0^2pi sin theta integral0^2 r^2 dr dtheta sobre a região , que é a circunferência . Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . A área elementar em coordenadas polares é .
Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:

Passo 6

Vamos calcular a integral interna integral0^2 r^2 dr = [ r^33 ]0^2 = 83 - 0 = 83 :
-integral0^2pi sin theta cdot 83 dtheta = -83 integral0^2pi sin theta dtheta
Agora, substituímos de volta:

Passo 7

Agora, vamos calcular integral sin theta dtheta = -cos theta + C . Sabemos que:
integral0^2pi sin theta dtheta = [ -cos theta ]0^2pi = -cos (2pi) + cos (0) = -1 + 1 = 0
Então:

Resposta

Portanto, a integral vale 0.

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