Calcule a integral
, onde
é a circunferência
, usando o Teorema de Green, para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é a circunferência definida por
. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando o cálculo. As funções dadas são
e
. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula do Teorema de Green é:
Então, nosso primeiro passo é calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Vamos calcular
. Sabemos que
, então:
Agora, vamos calcular
. Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Então, nossa integral dupla ficou
.
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral dupla
sobre a região
, que é a circunferência
. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. A área elementar em coordenadas polares é
.
Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna
:
Agora, substituímos de volta:
Passo 7
Agora, vamos calcular
. Sabemos que:
Então:
Resposta
Portanto, a integral
vale 0.
Exercícios relacionados
Utilize o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e um disco ou anel típicos.
em torno do eixo
Use o Teorema de Green para calcular a área da região limitada pelo círculo
.
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
em torno do eixo
.
Resolva as integrais usando a substituição de variável: