Utilize o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e um disco ou anel típicos.
em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando o método das seções transversais. Basicamente, a gente precisa encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação da região delimitada pelas curvas
,
, e
em torno da reta
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o método das seções transversais, que basicamente envolve integrar a área de discos ou anéis formados pela rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região que estamos girando. A curva
é uma exponencial decrescente que passa por
. A reta
é horizontal, e
é uma vertical. Então, a região está limitada entre
e
, de
até
.
Passo 3
Agora, como vamos girar essa região em torno da reta
, que está acima das curvas
e
. Isso significa que, ao girar, cada ponto da região vai formar um anel ou disco ao redor de
.
Passo 4
Para aplicar o método das seções transversais, vamos considerar uma pequena fatia vertical da região, em um ponto
entre 0 e 2. A altura dessa fatia é dada pela diferença entre
e
, ou seja,
.
Passo 5
A área de um anel formado pela rotação dessa fatia é dada pela diferença entre a área do círculo maior e a área do círculo menor. A fórmula para o volume de um anel é:
onde
é o raio externo e
é o raio interno.
Passo 6
Aqui, o raio externo
é a distância de
até
, que é
. Não há raio interno porque não estamos removendo nenhum círculo menor, já que a região está toda sendo girada em torno de
. Assim, a área do disco é:
Passo 7
Para encontrar o volume total, precisamos integrar essa área de
até
:
Passo 8
Vamos expandir o termo dentro do parênteses:
Então, o volume fica:
Passo 9
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 10
Somando tudo, o volume fica:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido obtido é: