Utilize o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e um disco ou anel típicos. em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando o método das seções transversais. Basicamente, a gente precisa encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação da região delimitada pelas curvas , , e em torno da reta . Para isso, vamos precisar entender como aplicar o método das seções transversais, que basicamente envolve integrar a área de discos ou anéis formados pela rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região que estamos girando. A curva é uma exponencial decrescente que passa por . A reta é horizontal, e é uma vertical. Então, a região está limitada entre e , de até .
Passo 3
Agora, como vamos girar essa região em torno da reta , que está acima das curvas e . Isso significa que, ao girar, cada ponto da região vai formar um anel ou disco ao redor de .
Passo 4
Para aplicar o método das seções transversais, vamos considerar uma pequena fatia vertical da região, em um ponto entre 0 e 2. A altura dessa fatia é dada pela diferença entre e , ou seja, .
Passo 5
A área de um anel formado pela rotação dessa fatia é dada pela diferença entre a área do círculo maior e a área do círculo menor. A fórmula para o volume de um anel é:
onde é o raio externo e é o raio interno.
Passo 6
Aqui, o raio externo é a distância de até , que é . Não há raio interno porque não estamos removendo nenhum círculo menor, já que a região está toda sendo girada em torno de . Assim, a área do disco é:
Passo 7
Para encontrar o volume total, precisamos integrar essa área de até :