Utilize o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e um disco ou anel típicos.
em torno do eixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando o método das seções transversais. Basicamente, a gente precisa encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação da região delimitada pelas curvas , , e em torno da reta . Para isso, vamos precisar entender como aplicar o método das seções transversais, que basicamente envolve integrar a área de discos ou anéis formados pela rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região que estamos girando. A curva é uma exponencial decrescente que passa por . A reta é horizontal, e é uma vertical. Então, a região está limitada entre e , de até .

Passo 3

Agora, como vamos girar essa região em torno da reta , que está acima das curvas e . Isso significa que, ao girar, cada ponto da região vai formar um anel ou disco ao redor de .

Passo 4

Para aplicar o método das seções transversais, vamos considerar uma pequena fatia vertical da região, em um ponto entre 0 e 2. A altura dessa fatia é dada pela diferença entre e , ou seja, .

Passo 5

A área de um anel formado pela rotação dessa fatia é dada pela diferença entre a área do círculo maior e a área do círculo menor. A fórmula para o volume de um anel é:
onde é o raio externo e é o raio interno.

Passo 6

Aqui, o raio externo é a distância de até , que é . Não há raio interno porque não estamos removendo nenhum círculo menor, já que a região está toda sendo girada em torno de . Assim, a área do disco é:

Passo 7

Para encontrar o volume total, precisamos integrar essa área de até :

Passo 8

Vamos expandir o termo dentro do parênteses:
Então, o volume fica:

Passo 9

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 10

Somando tudo, o volume fica:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido obtido é:

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em torno do eixo .