Use o Teorema de Green para calcular a área da região limitada pelo círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está dentro do círculo definido pela equação
. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa do cálculo vetorial para transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando nossos cálculos. Vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais e como aplicar o Teorema de Green para achar a área que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada
e uma região
que ela delimita, podemos transformar uma integral de linha ao redor de
em uma integral dupla sobre
. A fórmula do Teorema de Green é:
Para calcular a área usando o Teorema de Green, podemos escolher funções
e
de forma que a expressão
seja igual a 1, que é justamente o que precisamos para encontrar a área.
Passo 3
Uma escolha comum para
e
que satisfaz essa condição é:
Vamos verificar:
Então,
Isso significa que podemos usar essas funções para calcular a área.
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema de Green com
e
, temos:
Essa integral de linha ao redor do círculo
vai nos dar a área da região dentro dele.
Passo 5
Vamos parametrizar o círculo
usando coordenadas polares. Seja:
onde
varia de
a
. As derivadas de
e
em relação a
são:
Passo 6
Substituindo
,
,
e
na integral, temos:
Simplificando:
Passo 7
Fatorando o 9/2:
Sabemos que
, então:
Resposta
A área da região limitada pelo círculo
é
unidades quadradas.