Calcule a integral
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de de a . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que . Então,

Passo 3

Agora, dividimos a integral em duas partes:

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente. Para a primeira parte, fazemos uma substituição:
Seja , então , ou seja, .
Então,

Passo 5

Agora, resolvemos a segunda integral, que é direta:

Passo 6

Juntando as duas partes, temos:

Passo 7

Agora, avaliamos de a . Notamos que e , além de e , cujo logaritmo absoluto é zero. Assim, substituindo os limites:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Use a parte I do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
(e)
Encontre a área da região delimitada pelas curvas e .
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da regiâo delimitada pelas curvas em torno das retas especificadas. Esboce a região e o sólido.
(a) em torno do eixo .
Encontre a área da região delimitada pela reta e .