Calcule a integral
(e) integral-pi / 2^pi / 2 cotg^3(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de cot^3(x) de -pi/2 a pi/2. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cot^3(x) usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que cot^2(x) = csc^2(x) - 1. Então,
cot^3(x) = cot(x) cdot cot^2(x) = cot(x) cdot (csc^2(x) - 1)

Passo 3

Agora, dividimos a integral em duas partes:
integral cot^3(x) , dx = integral cot(x) csc^2(x) , dx - integral cot(x) , dx

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente. Para a primeira parte, fazemos uma substituição:
Seja u = cot(x), então du = -csc^2(x) , dx, ou seja, -du = csc^2(x) , dx.
Então,
integral cot(x) csc^2(x) , dx = integral u cdot (-du) = -integral u , du = -u^22 + C = -cot^2(x)2 + C

Passo 5

Agora, resolvemos a segunda integral, que é direta:
integral cot(x) , dx = ln|sin(x)| + C

Passo 6

Juntando as duas partes, temos:
integral cot^3(x) , dx = -cot^2(x)2 - ln|sin(x)| + C

Passo 7

Agora, avaliamos de -pi/2 a pi/2. Notamos que cot(pi/2) = 0 e cot(-pi/2) = 0, além de sin(pi/2) = 1 e sin(-pi/2) = -1, cujo logaritmo absoluto é zero. Assim, substituindo os limites:
[-02 - ln|1|] - [-02 - ln|1|] = 0 - 0 = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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