Encontre a área da região delimitada pela reta e .

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que pede para encontrarmos a área da região delimitada pela reta e pela parábola . Vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral para isso. Precisamos identificar onde essas duas curvas se intersectam e, em seguida, calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, substituímos na equação da parábola.

Passo 3

Expandindo a equação:
Vamos trazer todos os termos para um lado:

Passo 4

Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Então, temos duas soluções:

Passo 5

Com os valores de encontrados, substituímos na equação da reta para encontrar os valores correspondentes de :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Agora, para encontrar a área entre as duas curvas, vamos integrar a diferença das funções no intervalo de a . Primeiro, expressamos em função de para ambas as curvas.
Da reta:
Da parábola:

Passo 7

A área é dada por:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:

Passo 9

Substituindo os limites:
Primeira parte:
Segunda parte:
Terceira parte:

Passo 10

Somando todas as partes:

Resposta

A área da região delimitada pela reta e pela parábola é 18 unidades de área.

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Calcule a integral
(e)
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(d)