Encontre a área da região delimitada pela reta
e
.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que pede para encontrarmos a área da região delimitada pela reta
e pela parábola
. Vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral para isso. Precisamos identificar onde essas duas curvas se intersectam e, em seguida, calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, substituímos
na equação da parábola.
Passo 3
Expandindo a equação:
Vamos trazer todos os termos para um lado:
Passo 4
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Então, temos duas soluções:
Passo 5
Com os valores de
encontrados, substituímos na equação da reta para encontrar os valores correspondentes de
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 6
Agora, para encontrar a área entre as duas curvas, vamos integrar a diferença das funções no intervalo de
a
. Primeiro, expressamos
em função de
para ambas as curvas.
Da reta:
Da parábola:
Passo 7
A área
é dada por:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Passo 9
Substituindo os limites:
Primeira parte:
Segunda parte:
Terceira parte:
Passo 10
Somando todas as partes:
Resposta
A área da região delimitada pela reta
e pela parábola
é 18 unidades de área.
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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da regiâo delimitada pelas curvas em torno das retas especificadas. Esboce a região e o sólido.
(a) em torno do eixo
.
(a)
Calcule a integral
(e)
(e)
Calcule a integral indefinida
(d)
(d)