Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da regiâo delimitada pelas curvas em torno das retas especificadas. Esboce a região e o sólido.
(a) em torno do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo sobre volumes de sólidos gerados por rotação. A questão pede para encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da região limitada pelas curvas e em torno do eixo .
Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica para calcular volumes de sólidos de rotação. Precisaremos identificar os limites de integração e a função que define a forma do sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas envolvidas:
A curva é uma parábola que abre para baixo, com o vértice no ponto (0,1).
A curva é o eixo .
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar os limites de integração. Igualando a :
Então, os limites de integração são de a .
Passo 3
Agora, aplicamos o método dos discos. Quando giramos a região em torno do eixo , cada “fatia” perpendicular ao eixo se torna um disco com raio igual ao valor de .
A área de cada disco é dada por:
Passo 4
Para encontrar o volume total, integramos essa área de a :
Podemos simplificar a integral expandindo o binômio:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte separadamente:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão do volume:
Vamos simplificar os termos:
Então:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas e em torno do eixo é unidades cúbicas.