Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da regiâo delimitada pelas curvas em torno das retas especificadas. Esboce a região e o sólido.
(a) em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo sobre volumes de sólidos gerados por rotação. A questão pede para encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da região limitada pelas curvas e em torno do eixo .
Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica para calcular volumes de sólidos de rotação. Precisaremos identificar os limites de integração e a função que define a forma do sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas envolvidas:
  • A curva é uma parábola que abre para baixo, com o vértice no ponto (0,1).
  • A curva é o eixo .
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar os limites de integração. Igualando a :
Então, os limites de integração são de a .

Passo 3

Agora, aplicamos o método dos discos. Quando giramos a região em torno do eixo , cada “fatia” perpendicular ao eixo se torna um disco com raio igual ao valor de .
A área de cada disco é dada por:

Passo 4

Para encontrar o volume total, integramos essa área de a :
Podemos simplificar a integral expandindo o binômio:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte separadamente:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do volume:
Vamos simplificar os termos:
Então:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas e em torno do eixo é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule a integral
(e)
Use a parte I do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
(e)
Encontre a área da região delimitada pela reta e .