Use a parte I do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
(e) g(x)=integralsen(x)^1 raiz1+t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por uma integral, que é . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para isso, vamos usar a Parte I do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a derivar integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz a Parte I do Teorema Fundamental do Cálculo. Se tivermos uma função definida por G'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , então a derivada de em relação a é:
Isso significa que a derivada depende dos valores da função nos limites e , multiplicados pelas derivadas desses limites.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função , identificamos:
  • O limite superior (constante)
  • O limite inferior

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas dos limites:
  • Derivada de em relação a : (já que é constante)
  • Derivada de em relação a : (derivada de é )

Passo 5

Substituindo na fórmula do teorema:
g'(x) = f(1) cdot 0 - f(sin(x)) cdot cos(x)
Simplificando:
g'(x) = -raiz1 + (sin(x))^2 cdot cos(x)

Resposta

A derivada da função é:
g'(x) = -raiz1 + sin^2(x) cdot cos(x)

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