Considere a função Si: R R, definida por
Si(x)=integral0^x f(t) d t
onde
f(x)= sen xx, & se x neq 0 1, & se x=0
Calcule Si(0) e Si^prime(0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos Si(0) e Si^prime(0), onde a função Si(x) é definida como uma integral:
Si(x) = integral0^x f(t) , dt
Aqui, a função f(x) é dada por:
f(x) = sin xx, & se x neq 0 1, & se x = 0
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e derivada, especialmente o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular Si(0). A função Si(x) representa a área sob a curva de f(t) no intervalo de 0 a x. Quando x = 0, estamos basicamente integrando de 0 a 0, ou seja, não há área para calcular.
Matematicamente:
Si(0) = integral0^0 f(t) , dt = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de Si(x), que é Si^prime(x). Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se Si(x) = integrala^x f(t) , dt, então:
Si^prime(x) = f(x)
Isso significa que a derivada de Si(x) em relação a x é simplesmente a função f(x) avaliada em x.

Passo 4

Então, para encontrar Si^prime(0), basta avaliar f(x) em x = 0. Sabemos que:
f(0) = 1
Portanto:
Si^prime(0) = f(0) = 1

Resposta

Si(0) = 0 e Si^prime(0) = 1

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