Considere a função
, definida por
onde
Mostre que
é uma função contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a derivada da função
, definida como
, é uma função contínua. A matéria envolvida aqui é o cálculo, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como derivar uma função definida por uma integral e verificar a continuidade da derivada resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se
e
é contínua no intervalo, então
é diferenciável e sua derivada é
. No nosso caso,
é exatamente uma função definida por uma integral, então podemos aplicar esse teorema.
Passo 3
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo à nossa função
, temos que:
Ou seja, a derivada de
é simplesmente a função
que está dentro da integral.
Passo 4
Agora, precisamos analisar a função
, que é definida por:
Para garantir que
seja contínua,
também precisa ser contínua em todo o domínio.
Passo 5
Vamos verificar a continuidade de
em
. Sabemos que:
E como
, o limite da função quando
se aproxima de 0 é igual ao valor da função em 0. Portanto,
é contínua em
.
Passo 6
Para
,
é uma função composta de funções contínuas (seno e divisão por
diferente de zero), portanto, também é contínua nesses pontos.
Passo 7
Como
é contínua em todos os pontos de
, isso implica que
também é uma função contínua em todo o domínio.
Resposta
A derivada
é uma função contínua em
.
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, definida por
onde
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e
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, onde
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, definida por
onde
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, definida por
onde
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.