Considere a função , definida por
onde
Mostre que é uma função contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a derivada da função , definida como , é uma função contínua. A matéria envolvida aqui é o cálculo, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como derivar uma função definida por uma integral e verificar a continuidade da derivada resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se e é contínua no intervalo, então é diferenciável e sua derivada é . No nosso caso, é exatamente uma função definida por uma integral, então podemos aplicar esse teorema.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo à nossa função , temos que:
Ou seja, a derivada de é simplesmente a função que está dentro da integral.

Passo 4

Agora, precisamos analisar a função , que é definida por:
Para garantir que seja contínua, também precisa ser contínua em todo o domínio.

Passo 5

Vamos verificar a continuidade de em . Sabemos que:
E como , o limite da função quando se aproxima de 0 é igual ao valor da função em 0. Portanto, é contínua em .

Passo 6

Para , é uma função composta de funções contínuas (seno e divisão por diferente de zero), portanto, também é contínua nesses pontos.

Passo 7

Como é contínua em todos os pontos de , isso implica que também é uma função contínua em todo o domínio.

Resposta

A derivada é uma função contínua em .

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