Calcule integral 2 e^xcosh x-senh x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com funções hiperbólicas, especificamente o cosseno hiperbólico ( ) e o seno hiperbólico ( ). Para resolver, vamos precisar lembrar das definições dessas funções e ver se conseguimos simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas das funções hiperbólicas:
cosh x = e^x + e^-x2 e sinh x = e^x - e^-x2
Essas definições vão nos ajudar a simplificar o denominador da nossa fração.

Passo 3

Vamos substituir as expressões de cosh x - sinh x = e^x + e^-x2 - e^x - e^-x2 = 2 e^-x2 = e^-x e na fração:
Então, o denominador simplifica para .

Passo 4

Agora, substituímos o denominador simplificado na integral original:
integral 2 e^xe^-x , dx = integral 2 e^x cdot e^x , dx = integral 2 e^2x , dx
Isso porque .

Passo 5

Vamos integrar integral 2 e^2x , dx = 2 cdot e^2x2 + C = e^2x + C :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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