Calcule integral 2 y^2y^3-y^2+y-1 d y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios de . O conteúdo principal aqui é cálculo integral, especificamente integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples, possivelmente usando frações parciais.

Passo 2

Vamos começar simplificando o denominador . Observando os termos, podemos tentar fatorar esse polinômio.

Passo 3

Para fatorar , vamos procurar por raízes racionais utilizando o teorema das raízes racionais. As possíveis raízes são e .

Passo 4

Testando 1^3 - 1^2 + 1 -1 = 1 -1 +1 -1 = 0 :
Como o resultado é zero, é uma raiz do polinômio, o que significa que é um fator do denominador.

Passo 5

Agora, vamos dividir y^3 - y^2 + y -1 = (y -1)(y^2 +1) por usando divisão polinomial ou sintética. O resultado da divisão é , assim:

Passo 6

Com o denominador fatorado, nossa integral fica:
integral 2 y^2(y -1)(y^2 +1) , dy
Vamos decompor essa fração em frações parciais para facilitar a integração.

Passo 7

Assumimos que podemos escrever:
2 y^2(y -1)(y^2 +1) = Ay -1 + B y + Cy^2 +1
Multiplicando ambos os lados por 2 y^2 = A(y^2 +1) + (B y + C)(y -1) para eliminar os denominadores:

Passo 8

Expandindo o lado direito:
2 y^2 = A y^2 + A + B y^2 - B y + C y - C
Agrupando os termos semelhantes:
2 y^2 = (A + B) y^2 + ( -B + C) y + (A - C)

Passo 9

Comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para A + B = 2 :
-B + C = 0
Para A - C = 0 :
Para o termo constante:

Passo 10

Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, e

Passo 11

Agora, nossa fração parcial é:
2 y^2(y -1)(y^2 +1) = 1y -1 + y +1y^2 +1

Passo 12

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1y -1 , dy + integral y +1y^2 +1 , dy

Passo 13

Resolvendo a primeira integral:
integral 1y -1 , dy = ln|y -1| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 14

Para a segunda integral, vamos separar em duas partes:
integral yy^2 +1 , dy + integral 1y^2 +1 , dy
A primeira parte pode ser resolvida por substituição, e a segunda é uma integral padrão.

Passo 15

Resolvendo integral yy^2 +1 , dy = 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C = 12 ln(y^2 +1) + C :
Seja , então
Portanto:

Passo 16

Resolvendo

Passo 17

Juntando todas as partes:
ln|y -1| + 12 ln(y^2 +1) + arctan(y) + C

Resposta

A integral de ln|y -1| + 12 ln(y^2 +1) + arctan(y) + C em relação a é:

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