Calcule
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios de
. O conteúdo principal aqui é cálculo integral, especificamente integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples, possivelmente usando frações parciais.
Passo 2
Vamos começar simplificando o denominador
. Observando os termos, podemos tentar fatorar esse polinômio.
Passo 3
Para fatorar
, vamos procurar por raízes racionais utilizando o teorema das raízes racionais. As possíveis raízes são
e
.
Passo 4
Testando
:
Como o resultado é zero,
é uma raiz do polinômio, o que significa que
é um fator do denominador.
Passo 5
Agora, vamos dividir
por
usando divisão polinomial ou sintética. O resultado da divisão é
, assim:
Passo 6
Com o denominador fatorado, nossa integral fica:
Vamos decompor essa fração em frações parciais para facilitar a integração.
Passo 7
Assumimos que podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 8
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 9
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 10
Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
→
→
→
Então,
e
Passo 11
Agora, nossa fração parcial é:
Passo 12
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 13
Resolvendo a primeira integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 14
Para a segunda integral, vamos separar em duas partes:
A primeira parte pode ser resolvida por substituição, e a segunda é uma integral padrão.
Passo 15
Resolvendo
:
Seja
, então
→
Portanto:
Passo 16
Resolvendo
Passo 17
Juntando todas as partes:
Resposta
A integral de
em relação a
é: